第一章 命题点8 整式及其运算（精讲册）-【一战成名】2022江西中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·江西·数学 命题点８　整式及其运算 （１０年１０考，其中２０２０，２０１５年考２道 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 中 考 要 求 １．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单 的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）． ２．能推导乘法公式：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２，（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２，了解公式的几何背景，并能利用公 式进行简单计算． 　　要点归纳 １．整式的相关概念 （１）单项式：表示数或字母的积的式子．单独的一个数或一个字母也是单项式．如ａ２ｂ，２ａ，６，ｘ等． ①系数：单项式中的数字因数．如ａ２ｂ的系数为１，２ａ的系数为２； ②次数：所有字母的指数和．如２ａ的次数为１，ａ２ｂ的次数为３． （２）多项式：几个单项式的和．如１０ｘ＋ｙ，ａ２－１４ｂ． ①项：多项式中的每个单项式（连同前面的符号），不含字母的项叫作常数项．如多项式３ａ－１的项为３ａ 和－１，其中－１是常数项； ②次数：多项式里，次数最高项的次数．如ａ２－１４ｂ的次数最高项为ａ ２，是二次二项式． ２．整式的运算 （１）整式的加减运算：实质是合并同类项． ①同类项 “三个相同”———所含字母　相同　，并且　相同　字母的指数也　相同　的项． 几个常数项也是同类项． “两个无关”———与系数无关，与字母顺序无关． ②合并同类项法则：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如： 合并同类项 法则 （一加两不变） （１）系数相加 （２）{ 字母连同它的指数不变　　　 ③去括号法则 若括号前是“＋”号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号　相同　； 若括号前是“－”号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号　相反　． 如：ａ＋（－ｂ＋２ｃ）＝　ａ－ｂ＋２ｃ　；ａ－（－ｂ＋２ｃ）＝　ａ＋ｂ－２ｃ　． 延伸：添括号法则 ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ） ａ－ｂ－ｃ＝ａ－（ｂ＋ｃ） 主要用于整式的乘法运算． ④加减运算可归纳为：先去括号，再合并同类项． （２）幂的运算（ｍ，ｎ为正整数，ａ≠０） 运算 法则 同底数幂相乘：底数不变，指数　相加　 ａｍ·ａｎ＝　ａｍ＋ｎ　 同底数幂相除：底数不变，指数　相减　 ａｍ÷ａｎ＝　ａｍ－ｎ　 幂的乘方：底数不变，指数　相乘　 （ａｍ）ｎ＝　ａｍｎ　 积的乘方：先把积中的每一个因式分别　乘方　，再把所得的幂　相乘　 （ａｂ）ｎ＝　ａｎｂｎ　 ２１ 一战成名·江西·数学 （３）整式的乘法运算 ①单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它 的指数作为积的一个因式．如ａｃ５ｂｃ２＝ａｂｃ７． ②单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如ｐ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｐａ＋ｐｂ＋ｐｃ． ③多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 如 ． （４）整式的除法运算 ①单项式÷单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指 数作为商的一个因式．如：４ａｂ÷２ａ＝　２ｂ　，４ａ÷２ａｂ＝　　　　． ②多项式÷单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． （５）乘法公式 ①平方差公式：　　　　　　　　　　②完全平方公式： （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２　　　　　　（ａ＋ｂ） ２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２　　　（ａ－ｂ） ２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２ 　　随堂练习 １．（１）１０２×１０７×１０＝　１０１０　，ｍ３·ｍ５÷ｍ＝　ｍ７　． （２）ｘ３·ｘ５＝　ｘ４　·ｘ４＝ｘ·　ｘ７　＝　ｘ８　，（ｘ－ｙ）５÷（ｘ－ｙ）３＝　（ｘ－ｙ）２　． （３）［（ａ＋ｂ）３］４＝　（ａ＋ｂ）１２　，（－１３ｘｙ ２）３＝　　　　　　，（　３ａ２ｂ３　）ｎ＝３ｎａ２ｎｂ３ｎ． ２．先化简，再求值：（ａ＋２ｂ）（２ｂ－ａ）＋（ａ－２ｂ）２，其中ａ＝２，ｂ＝－１． 解：原式＝４ｂ２－ａ２＋ａ２＋４ｂ２－４ａｂ＝８ｂ２－４ａｂ， 当ａ＝２，ｂ＝－１时， 原式＝８×（－１）２－４×２×（－１）＝１６． ３．若３ｍ＝６，９ｎ＝２，求３２ｍ－４ｎ＋１的值． 解：当３ｍ＝６，９ｎ＝２，即３ｍ＝６，３２ｎ＝２时， ３２ｍ－４ｎ＋１＝（３ｍ）２÷（３２ｎ）２×３＝６２÷２２×３＝２７． ４．阅读下面的解题过程并回答问题． 计算：８ａ２－［３ａ＋２（ａ－４ａ）２］． 解：原式＝８ａ２－３ａ－２ａ－８ａ２ ①!!!!!! ＝（８－８）ａ２＋（－３－