第二章 命题点6 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（精讲册）-【一战成名】2022江西中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·江西·数学 ４．解下列方程： （１）２（ｘ＋３）２＝１８． （最佳方法：　直接开平方法　） 解：∵２（ｘ＋３）２＝１８， ∴（ｘ＋３）２＝９， ∴ｘ＋３＝±３， ∴ｘ１＝０，ｘ２＝－６． （２）ｘ２－２ｘ－４＝０． （最佳方法：　配方法　） 解：∵ｘ２－２ｘ－４＝０， ∴ｘ２－２ｘ＝４， 则ｘ２－２ｘ＋１＝４＋１，即（ｘ－１）２＝５， ∴ｘ－１＝±槡５， ∴ｘ１＝１＋槡５，ｘ２＝１－槡５． （３）２ｘ２＋３ｘ＝１． （最佳方法：　　　公式法　） 解：２ｘ２＋３ｘ＝１， ２ｘ２＋３ｘ－１＝０， ∵ｂ２－４ａｃ＝３２－４×２×（－１）＝１７＞０， ∴ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －３±槡１７ ２×２ ， 解得ｘ１＝ －３＋槡１７ ４ ，ｘ２＝ －３－槡１７ ４ ． （４）３ｘ（ｘ＋５）＝５（ｘ＋５）． （最佳方法：　因式分解法　） 解：方程变形为（３ｘ－５）（ｘ＋５）＝０， 即３ｘ－５＝０或ｘ＋５＝０， ∴ｘ１＝ ５ ３，ｘ２＝－５． 命题点６　一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 （必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 中 考 要 求 １．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等． ２．了解一元二次方程的根与系数的关系． 　　要点归纳 １．根的情况与判别式的关系 关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）根的判别式为　Δ＝ｂ２－４ａｃ　． （１）当ｂ２－４ａｃ　＞　０时，方程有两个不相等的实数根； （２）当ｂ２－４ａｃ　＝　０时，方程有两个相等的实数根； （３）当ｂ２－４ａｃ　＜　０时，方程没有实数根． 由（１）（２）可知：当ｂ２－４ａｃ　≥　０时，方程有两个实数根． 温馨提示：由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含 有字母，应注意二次项系数不为０这个隐含条件            ． 即时练１　关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋１４＝０有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数ａ， ｂ的值：ａ＝　４　，ｂ＝　２　． 即时练２　若关于ｘ的一元二次方程（ａ－６）ｘ２－２ｘ＋３＝０有实数根，则整数ａ的最大值是　５　． ２．根与系数的关系 若关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两实根分别为ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２＝　　　，ｘ１ｘ２＝　　　． 归纳总结：常见的求值类型： （１）１ｘ１ ＋１ｘ２ ＝ ｘ１＋ｘ２ ｘ１ｘ２ ．　　　　　　　　　　　　（２） ｘ１ ｘ２ ＋ ｘ２ ｘ１ ＝ ｘ２１＋ｘ ２ ２ ｘ１ｘ２ ＝ （ｘ１＋ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２ ｘ１ｘ２ ． （３）（ｘ１＋１）（ｘ２＋１）＝ｘ１ｘ２＋（ｘ１＋ｘ２）＋１． （４）｜ｘ１－ｘ２｜＝ （ｘ１－ｘ２）槡 ２＝ （ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ槡 ２． ５２ 一战成名·江西·                                                    数学 即时练３　已知ａ，ｂ是一元二次方程ｘ２＋ｘ－ｃ＝０的两个根，且ａ＋ｂ－２ａｂ＝５，那么ｃ等于　３　． 即时练４　已知方程ｘ２－３ｘ＋１＝０的两个根分别是ｘ１，ｘ２，则ｘ２１ｘ２＋ｘ１ｘ２２的值为　３　． 即时练５　已知方程ｘ２＋ｘ－１＝０的两个根为α，β，则αβ＋ β α 的值为　－３　． 即时练６　设ｘ１，ｘ２（ｘ１＞ｘ２）是一元二次方程ｘ２－ｍｘ－６＝０的两个根，且ｘ１＋ｘ２＝１，则ｘ１－ｘ２＝　５　． 即时练７　已知矩形的长和宽是方程ｘ２－７ｘ＋８＝０的两个实数根，则矩形的对角线的长为　槡３３　． 即时练８　关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋２ｍｘ＋ｍ２＋ｍ＝０有两个不相等的实数根． （１）求ｍ的取值范围； （２）设ｘ１，ｘ２是方程的两个根，且ｘ ２ １＋ｘ ２ ２＝１２，求ｍ的值． 解：（１）根据题意得Δ＝（２ｍ）２－４（ｍ２＋ｍ）＞０，解得ｍ＜０； （２）根据题意得ｘ１＋ｘ２＝－２ｍ，ｘ１ｘ２＝ｍ ２＋ｍ． ∵ｘ２１＋ｘ ２ ２＝１２，