第二章 命题点5 一元二次方程及其解法（精讲册）-【一战成名】2022江西中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·江西·数学 命题点５　一元二次方程及其解法 （近１０年未单独考查 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 中 考 要 求 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 　　要点归纳 １．必须具备的三个条件 （１）等号两边都是　整式　；（２）只含有　一个　未知数（一元）； （３）未知数的最高次数是　２　（二次）． ２．一般形式 温馨提示：在一元二次方程的一般形式中要注意ａ≠０．因为当ａ＝０时，不含有二次项，即不是一元二次方程． ３．解法 基本思路：　降次　，基本解法有：　直接开平方法　，　配方法　，　公式法　，　因式分解法　． （１）配方法（适用于所有一元二次方程） 基本思路：将方程转化为（ｘ＋ｍ）２＝ｎ（ｎ≥０）的形式 它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，两边同时开平方，转化为一元一次方程求解． 例　用配方法解方程ｘ２－１０ｘ＋２５＝９． 解：ｘ２－１０ｘ＝－１６， 将常数项移到方程的右边　　　　　　　　　　　 　 !!!!!!!!!!! ｘ２－１０ｘ＋（－５）２＝－１６＋（－５）２， 两边都加　（－５）２　（一次项系数－１０的一半的平方） !!! 即（ｘ－５）２＝９， 将方程转化为（ｘ＋ｍ）２＝ｎ的形式　　　　　　　　　 !!!!!!!!!!! ｘ－５＝±３， 两边开平方　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 !!!!!!!!!!!!! ∴ｘ１＝８，ｘ２＝２． 求解　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　!!!!!!!!!!! 配方关键点：将常数项移到方程右边后，一定要注意等号两侧要同时加一次项系数一半的平方． （２）公式法（适用于所有一元二次方程） 求根公式为ｘ＝　　　　　　　　（ｂ２－４ａｃ　≥　０）， 求根时注意：①先将一元二次方程化为一般式；②确定ａ，ｂ，ｃ的值时要带符号． （３）因式分解法（适用于方程一边为０，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程） 步骤：①方程的右边＝０；②方程左边进行因式分解； ③方程化为两个一元一次方程；④求解两个一次方程． 　　随堂练习 １．若一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有一个根为－１，则ａ－ｂ＋ｃ的值是　０　． ２．ｘ＝－５± ５ ２ 槡 ＋４×３×１ ２×３ 是下列哪个一元二次方程的根 （　Ｄ　） Ａ．３ｘ２＋５ｘ＋１＝０　　　　Ｂ．３ｘ２－５ｘ＋１＝０　　　　Ｃ．３ｘ２－５ｘ－１＝０　　　　Ｄ．３ｘ２＋５ｘ－１＝０ ３．已知ｘ＝－１是一元二次方程（ｍ＋４）ｘ２＋２ｘ－ｍ２＝０的一个根，则ｍ的值为 （　Ａ　） Ａ．－１或２ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．０ ４２ 一战成名·江西·数学 ４．解下列方程： （１）２（ｘ＋３）２＝１８． （最佳方法：　直接开平方法　） 解：∵２（ｘ＋３）２＝１８， ∴（ｘ＋３）２＝９， ∴ｘ＋３＝±３， ∴ｘ１＝０，ｘ２＝－６． （２）ｘ２－２ｘ－４＝０． （最佳方法：　配方法　） 解：∵ｘ２－２ｘ－４＝０， ∴ｘ２－２ｘ＝４， 则ｘ２－２ｘ＋１＝４＋１，即（ｘ－１）２＝５， ∴ｘ－１＝±槡５， ∴ｘ１＝１＋槡５，ｘ２＝１－槡５． （３）２ｘ２＋３ｘ＝１． （最佳方法：　　　公式法　） 解：２ｘ２＋３ｘ＝１， ２ｘ２＋３ｘ－１＝０， ∵ｂ２－４ａｃ＝３２－４×２×（－１）＝１７＞０， ∴ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －３±槡１７ ２×２ ， 解得ｘ１＝ －３＋槡１７ ４ ，ｘ２＝ －３－槡１７ ４ ． （４）３ｘ（ｘ＋５）＝５（ｘ＋５）． （最佳方法：　因式分解法　） 解：方程变形为（３ｘ－５）（ｘ＋５）＝０， 即３ｘ－５＝０或ｘ＋５＝０， ∴ｘ１＝ ５ ３，ｘ２＝－５． 命题点６　一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 （必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 中 考 要 求 １．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等． ２．了解一元二次方程的根与系数的关系． 　　要点归纳 １．根的情况与判别式的关系 关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）根的判别式为　Δ＝ｂ２－４ａｃ　． （１）当ｂ２－４ａｃ　＞　０时，方程有两个不相等的实数根； （２）当ｂ２－４ａｃ　＝　０时，方程有两个相等的实数根； （３）当ｂ２－４ａｃ　＜　０时，方程没有实数根． 由（１）（２）可知：当ｂ２－４ａｃ　≥　０时，方程有两个实数根．