28.2.2 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形（课件PPT）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（人教版）

第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形 28.2.2 应用举例 28.2 解直角三角形及其应用 第二十八章 锐角三角函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图： 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 复习引入 导入新课 解与方向角有关的问题 典例精析 例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 新课讲授 解：如图，在 Rt△APC 中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile. 65° 34° P B C A 4 例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续 向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F， 则 AF 的长是 A 到 BC 上所有 点中的最短距离. 北 东 A C B 60° 30° D E F ∵ BD∥CE∥AF， ∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°． ∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°. 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC， ∴ BC = AC = 12 海里． ∴ AF = AC · cos30° = 6 ≈ 10.392 ＞ 8， 故渔船继续向正东方向行驶， 没有触礁的危险． 北 东 A C B 60° 30° D E F 如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为 圆心，100 km 为半径的圆形区 域内，请问：计划修筑的这条 高速公路会不会穿越保护区(参 考数据： ≈1.732， ≈1.414)？ 练一练 200 km 200 km 解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C， 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°． ∵ AC＋BC＝AB， ∴ PC·tan30°＋PC·tan45°＝200， 即 PC＋PC＝200， 解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km. 答：计划修筑的这条高速公路不 会穿越保护区． C 解与坡度有关的问题 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？ A B C 观察与思考 如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ α l h i = h∶l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的 比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l . 坡面 水平面 3. 坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =____度. 2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 练一练 例 3 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2. 小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的 坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到 0.01°，长度精确到 0.1 m）？ i = 1:2 典例精析 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A ≈ 26.57°， AC = 240 m， 解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得 因此 α ≈ 26.57°. 答