2022-2023学年上海八年级数学上册期末专题复习14 压轴题精讲-正反比例函数几何综合

专题14 正反比例函数压轴综合 【典例分析】 题型一：正反比例函数与线段 1．（2021秋•虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形． （1）在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB＝3，求MO． （2）若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由） 【考点】反比例函数综合题． 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【分析】（1）过M作MH⊥x轴交x轴于点H，利用勾股定理得出OM与OH的关系，再计算出OH和OM即可； （2）过C作CF⊥x轴交x轴于点F，过D作DG⊥x轴交x轴于点G，OF＝a，分别用a的代数式表示出C点和D点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【解答】解：（1）如下图，过M作MH⊥x轴交x轴于点H， 设OH＝m，∵∠EOB＝90°，△EOB是一个等腰直角三角形， ∴EO＝BO，∠EBO＝45°， ∴直角△MHB也是等腰直角三角形，即MH＝BH， ∵MH2+BH2＝BM2，即2MH2＝（）2＝18，解得：MH＝3， 又∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠OMH＝30°， ∴OM＝2OH＝2m， 在Rt△MOH中，MH2+OH2＝OM2，即：9+m2＝4m2， 解得：，（舍） ∴； （2）如下图，过C作CF⊥x轴交x轴于点F，过D作DG⊥x轴交x轴于点G， 设OF＝a， ∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∴∠OCF＝∠BDG＝30°， ∴OC＝2OF＝2a，BD＝2BG， ∵OC＝3BD，∴，∴，∴， 在Rt△COF中，， 在Rt△DBG中，， ∴，， ∵点C和点D在y=(k≠0)上，则：，解得：， ∴反比例函数解析式为． 【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键． 2．（2020秋•浦东新区校级期末）已知点P（m，4）在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经 过点P和点Q（6，n）． （1）求正比例函数的解析式； （2）求P、Q两点之间的距离． （3）如果点M在y轴上，且MP＝MQ，求点M的坐标． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）根据反比例函数解析式求得P的坐标，然后利用待定系数法即可求得正比例函数的解析式； （2）求出Q点坐标，利用勾股定理即可解决问题； （3）由MP＝MQ推点M在PQ的垂直平分线上，再利用勾股定理即可求出点M的坐标． 【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0）， ∵点P（m，4）在反比例函数的图象上， ∴﹣＝4，解得m＝﹣3， ∴P的坐标为（﹣3，4）， ∵正比例函数图象经过点P，∴﹣3k＝4，解得k＝﹣， ∴正比例函数的解析式为y＝﹣x； （2）∵正比例函数图象经过点Q（6，n），∴n＝﹣×6＝﹣8， ∴点Q（6，﹣8），∴P、Q两点之间的距离＝＝15． （3）作PQ的垂直平分线交y轴于点M，设M（0，y）， ∵P（﹣3，4），Q（6，﹣8），∴N（，﹣2）， ∵PQ＝15，∴NQ＝， ∵MQ2＝MN2+NQ2 ∴62+（﹣8﹣y）2＝（﹣）2+（y+2）2+（）2， 解得y＝﹣， ∴点M的坐标为（0，﹣）． 【点评】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，勾股定理、坐标与图形性质，找到M点的位置是做题关键． 3．（2020秋•虹口区期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A，B两点，且点A的 坐标为（4，2）． （1）求a和k的值； （2）求点B的坐标； （3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得a和k的值； （2）联立直线和双曲线解析式，即可得到点B坐标； （3）由垂直平分线的性质可知AC＝AB，利用两点间距离公式建立等式，求解即可． 【解答】解：（1）直线y＝ax（a＞0）过点A（4，2），∴4a＝2，∴a＝， ∵双曲线y＝（k＞0）过点A，∴k＝2×4＝8． ∴a＝，k＝8． （2）令x＝，解得x＝±4，∴当x＝﹣4时，y＝﹣2， ∴B（﹣4，﹣2）． （3）设点C（0，y）， 由点A，B，C的坐标可知，AB＝4，AC＝， ∵线段BC的垂直平分线恰好经过点A， ∴AB＝AC，即4＝， 解得y＝﹣6