第08讲 平面向量的正交分解及坐标表示-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第8课平面向量的正交分解及坐标表示 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示． 1.在学习过程中，在熟悉课本知识的基础上，简历笛卡尔坐标系，学习数学史，体会数学文化，借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.在理解的基础上，灵活掌握两个向量加、减运算的坐标表示，加强数学抽象能力的培养． ( 知识精讲 ) 知识点01　平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相的向量，叫做把向量作正交分解． 【即学即练1】　平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________． 知识点02　平面向量的坐标表示 1．基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个分别为i，j，取{i，j}作为． 2．坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标． 3．坐标表示：a＝． 4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 【即学即练2】已知点，，则（） A． B． C． D． 反思感悟 点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？ 区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 知识点03平面向量加、减运算的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝ 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝ 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 【即学即练3】已知点、，且，则点的坐标是（） A． B． C． D． ( 能力拓展 ) 考法01平面向量的正交分解 【典例1】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（） A． B． C． D． 【变式训练】已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 考法02平面向量加、减运算的坐标表示 【典例2】已知，则（） A． B． C． D． 【变式训练】如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标 反思感悟　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 考法03平面向量坐标运算及应用 【典例3】（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（） A． B． C． D． 【变式训练】在矩形中，，动点在矩形所在平面内，且满足.若，则的取值不可能为（） A． B．1 C．2 D．3 反思感悟　坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标． ( 分层提分 ) 题组A基础过关练 1．在矩形中，，动点在矩形所在平面内，且满足.若，则的取值不可能为（） A． B．1 C．2 D．3 2．已知点、，且，则点的坐标是（） A． B． C． D． 3．设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（） A． B． C． D． 4．将函数的图像按向量平移得到函数的图像，则（） A． B． C． D． 5．在四边形中，，分别为边的中点，则（） A． B． C． D． 6．已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 7．已知正方形的边长为2，点满足，则的值为（） A． B． C． D．4 8．（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（） A． B． C． D． 9．已知向量，且，则实数的值为__________. 10．的重心为，顶点，则___________． 11．已知在中，，，，为中点，则的坐标为__． 12．已知向量，若，则________. 13．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，