第06讲 平面向量的数量积（二）-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第6课平面向量的数量积（二） ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 1、平面向量是数量积运算是平面向量运算的核心，对于提升数学运算能力，和逻辑推理能力有着十分重要的作用. 2、熟练运用会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，以及实际应用有着十分重要的作用． ( 知识精讲 ) 知识点01平面向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【即学即练1】　已知是边长为的等边三角形，则________． 知识点02平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质． 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 【即学即练2】已知向量，，若，则________． 知识点03用已知向量表示其他向量 反思感悟 ( 能力拓展 ) 考法01向量的数量积的运算性质 【典例1】已知向量，满足，且与的夹角为，则（） A．6 B．8 C．10 D．14 【变式训练】（多选）中，点M是边的中点，，则一定不是（） A．4 B．3 C．2 D．1 考法02求向量的模和向量的夹角 【典例2】已知，，，则与的夹角是___________. 【变式训练】已知，，则（） A． B． C． D． 考法03与垂直有关的问题 【典例3】下列说法中正确的是（） A．向量满足 B．若向量满足，则 C．若向量，则 D．对任意两向量，则与是相反向量 【变式训练】已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（） A． B． C． D． ( 分层提分 ) 题组A基础过关练 1．设非零向量，若，则的取值范围为（） A． B． C． D． 2．已知，满足，，且，的夹角为，则（） A． B．2 C．4 D． 3．下列关于向量的说法中正确的是（） A．向量且，则向量与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，则向量与的长度相等且方向相同或相反 D．对任意的向量满足 4．已知，，，则在上的投影向量为（） A． B． C． D． 5．已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（） A． B． C． D． 6．（多选）如图，在中，是的三等分点，则（） A． B．若，则在上的投影向量为 C．若，则 D．若 7．（多选）下列说法中错误的是（） A．单位向量都相等 B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．已知向量，若与的夹角为锐角，则 8．已知平面向量满足，，，则与的夹角为_____． 9．已知向量满足，则向量与向量的夹角是______. 10．设为的外接圆圆心，若，则在上投影向量的模为_________ 11．在中，，若D为BC中点，则为_________． 12．已知非零向量满足，则的夹角大小是_________． 题组B能力提升练 1．设，，若对，，则与的夹角等于（） A．30° B．60° C．120° D．150° ．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，与自然科学结合在一起不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列说法不正确的是（） A． B． C． D． 3．（多选）在三棱锥中，四点分别为棱的中点，则以下表述正确的是（） A．若，则 B． C．若，则 D． 4．（多选）已知向量．则下列命题正确的是（） A．若，则 B．存在，使得 C．与共线的单位向量为 D．向量与夹角的余弦值范围是 5．平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______． 6．已知向量满足的夹角为，则的值是_____． 7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，