6.4.3.1 余弦定理-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.4.3.1 余弦定理 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式； 2.掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理解决两类解三角形问题； 3.掌握给出三边判断三角形的形状问题； 4.培养学生的数形结合的能力。 1.数学抽象：余弦定理的推导过程； 2.逻辑推理：余弦定理的证明； 3.数学运算：利用余弦定理解三角形； 4.直观想象：数形结合法； 概念梳理 1. 余弦定理的表示及其推论 文字语言, 三角形中任何一边的平方, 等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 符号语言: 推论: 【概念辨析】 1.余弦定理的推导 在 中, 设 , 那么 , 所以 . 同理可得 . 2.对余弦定理的理解 ①. 适用范围: 对任意三角形都成立. ②. 结构特征: “平方”“夹角”“余弦”. ③. 简单应用: 每个等式都涉及三边和一角四个元素, 在等式中可以做到知三求一 3.与其他知识的联系 ①. 勾股定理与余弦定理的联系勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系, 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方和角的余弦之间的关系. ②. 余弦定理是用准确的量化关系去解三角形, 即用边长去判断三角形的形状, 因此, 勾股定理是余弦定理的特例, 余弦定理是勾股定理的推广. ③. 余弦定理及其推论把用“边、角、 边” 和 “边、边、边” 判定三角形全等 的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式. ④. 余弦定理及其推论在结构上有所不同, 在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择. 回归教材 1. (1) 在 中, 已知 , 解这个三角形（角度精确到 , 边长精确到 ); (2) 在 中, 已知 , 求 . 【解析】(1) . (2) 由余弦定理, 得 2. 在 中, 已知 , 解这个三角形. 【解析】由余弦定理的推论得= = 3. 在 中, 已知 , 锐角 满足 , 求 (精确到 ). 【解析】，. 由余弦定理得 . 由余弦定理的推论得, . 题型讲解 探究（一）已知两边及一角解三角形 【典例1】在 中, , 求 【解析】在 中, , 如图所示: 由余弦定理得 , 整理得 , 解得 或 (不合题意, 舍去), 所以 . 【方法总结】解决“已知两边及一角” 解三角问题的步骤 (1) 用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程, 运用解方程的方法求出此边长. (2) 再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 【补充训练1】在 中, 角 的对边分 别为 , 若 , 则 A. 4 B. C. 3 D. 【解析】 。又由余弦定理 得 17 , 所以 。 答案 D 【补充训练2】在 中, 内角 所对的边分别为 , 且 ,则 ； ； 【解析】由余弦定理得 , 即 . 或 (舍去). = 【补充训练3】（多选）已知 的内角 , 的对边分别为 . 已知 , 则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【解析】由 , 则 , 可得 ,根据余弦定理可得 ,即 ,解得 或 .故选AC 【方法总结】已知三角形的两边及其夹角解三角形时, 可以先利用余弦定理求出第三边, 然后利用余弦定理的推论求出其他角. 探究（二）已知三边解三角形 【典例2】已知 中, , 求 的各角的大小. 【解析】设 , 利用余弦定理, 有 , 所以 . 同理可得 . 所以 . 【方法总结】1. 已知三边求角的基本思路是: 利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值, 值为正, 角为锐角; 值为 0 , 角为直角; 值为负, 角为钝角; 其思路清晰, 结果唯一. 2. 若已知三角形的三边的关系, 常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质, 转化为已知三边求解. 【补充训练1】在 中, 6 , 则 的最大内角的余弦值为 A. B. C. D. 【解析】因为 边最长, 所以角 最大, 。故选 D。 【补充训练2】在 中, 内角 所对的边分别为 , 且 , 则 【解析】因为 , 所以由余弦定理的推论 , 得 【补充训练3】（多选）在 中, 角 的对边分别为 , 若 , 则角 可为 A. B. C. D. 【解析】因为在 中, ,又由余弦定理可得: ,所以 ,整理可得: , 可得 , 对于选项 A, 若 , 可得: , 整理可得: , 错误;对于选项 , 若 , 可得: ,整理可得: , 对于选项 , 若 ,可得: ,整理可得: , 对于选项 D, 若 , 可得:, 整理可得: , 错误. 【方法总结】根据