第02讲 二次根式的乘除-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第02讲 二次根式的乘除 【学习目标】 1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【基础知识】 1、二次根式的乘法及积的算术平方根 1）乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 注意： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：.(3)若二次根式相乘的结果能写成a2的形式，则应化简，如. 2）积的算术平方根: （≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 注意：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有a2形式的a移到根号外面. 2、二次根式的除法及商的算术平方根 1）除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。 注意：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0；(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。 2）商的算术平方根的性质:，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 注意：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 3、最简二次根式：（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 注意：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式. 【考点剖析】 考点1：二次根式的乘法 例1．（2022·广东·丰顺县八年级阶段练习）化简   （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：，故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 变式1.（2022·上海宝山·八年级期中）计算：______． 【答案】 【分析】根据计算，再化简即可得出答案． 【详解】解：原式．故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法和二次根式的化简，掌握是解题的关键． 考点2：二次根式的除法 例2．（2022·上海奉贤·八年级期中）计算：______． 【答案】 【分析】根据二次根式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式除法运算法则． 变式2．（2022·安徽·东至县八年级期中）计算的结果是______． 【答案】## 【分析】把被开方数相除，根指数不变，根据法则进行运算即可． 【详解】解：故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，掌握“二次根式的除法运算法则”是解本题的关键． 考点3：二次根式的乘除混合运算 例3．（2022·江苏·苏州市振华中学校八年级期中）______． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质进行乘除运算． 【详解】解：，故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则． 变式3．（2022·河南·辉县市城北初级中学九年级阶段练习）计算：的值为（　　） A．1 B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】从左往右，依次计算即可得． 【详解】解：原式====1，故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，解题的关键是掌握二次根式运算的运算法则和运算顺序． 考点4：最简二次根式的辨别 例4．（2022·广东·八年级期中）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断． 【详解】解：A、；A不是最简二次根式， B、；B不是最简二次根式，C、；C不是最简二次根式， D、是最简二次根式；故D符合题意，故选：D 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 变式4．（2022·广东·肇庆八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义