第01讲 二次根式-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第01讲 二次根式 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： ≥0，（a≥0），=a（a≥0），，并利用它们进行计算和化简． 【基础知识】 1、二次根式及代数式的概念 1）二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)�的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 注意：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2）代数式：形如6，a，m+n，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 2、二次根式的性质 1）≥0，（≥0）； 2）=a（≥0）； 3）. 注意： 1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即. 2）与要注意区别与联系： ①的取值范围不同，中≥0，中为任意值； ②≥0时，==；<0时，无意义，=。 【考点剖析】 考点1：二次根式的辨别 例1．（2022·辽宁大连·八年级期末）下列各式中是二次根式的为（    ） A．a+b B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义判定即可． 【详解】解：A、a+b是整式不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是分式不是二次根式，故此选项不符合题意； C、是单项式不是二次根式，故此选项不符合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的定义“形如的式了叫二次根式”是解题的关键． 变式1．（2022·湖北十堰·八年级期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义分别进行判定即可． 【详解】A、是二次根式，所以A选项正确； B、根指数为3，所以B选项错误； C、当x＜0，无意义，所以C选项错误； D、无意义，所以D选项错误．故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如 （a≥0）叫二次根式． 考点2：求二次根式的值 例2．（2022·浙江温州·八年级期末）当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，，故选：A 【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 变式2．（2022·浙江金华·八年级期末）当时，二次根式的值为______． 【答案】2 【分析】把代入，再求值即可． 【详解】解：当时， 故答案为2 【点睛】本题考查的是求解二次根式的值，掌握“二次根式的化简求值的方法”是解本题的关键． 考点3：求二次根式的参数（最值问题） 例3．（2022·广东惠州·八年级期末）使是整数的正整数的最小值为___________． 【答案】 【分析】把12分解质因数，然后根据二次根式的性质解答． 【详解】解：∵12＝4×3， ∴是整数的正整数m的最小值是3．故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，把12分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 变式3．（2022·河北邯郸·九年级期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且，∴是完全平方数， 设（m是正整数），则， ∵与同奇同偶， ∴，或，∴，或， ∴，∴n的最小正整数值是2．故选：A． 【点睛】本题考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 考点4：二次根式有意义的条件 例4．（2022·福建九年级阶段练习）使二次根式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数进行求解即可得. 【详解】解：由题意得：，解得：，故选：D． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数是解题的关键． 变式4．（2022·安徽·定远县八年级阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】直接根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：且．故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 考点5：二次根式有意义的条件（2） 例5．（2022·重庆市八年级期中）若，则的值是（    ） A．5 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】用二次根式被开方数是非负数，可得y的值，代入可得x的值，从而得解． 【详解】解：依题意得： ，解得：，将代入得，∴，故选D． 【点