第03讲 二次根式的加减-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第03讲 二次根式的加减 【学习目标】 1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算； 2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【基础知识】 1、同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 注意：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式：合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 注意：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 3、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 注意：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式. 4、二次根式的混合运算：二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 注意：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【考点剖析】 考点1：同类二次根式的辨别 例1．（2022·上海宝山·八年级期末）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可． 【详解】A：，故和不是同类二次根式，故A选项不符合题意； B：，故和，故B选项不符合题意； C：，故和是同类二次根式，故C选项符合题意； D：和不是同类二次根式，故D选项不符合题意；故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键． 变式1．（2022·福建宁德·八年级期中）下列各式化简后能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把各选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念即可得出结论． 【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意；B、与不能合并，故不符合题意； C、与能合并，故符合题意；D、与不能合并，故不符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 考点2：根据同类二次根式求参数 例2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）若与最简二次根式能合并成一项，则________． 【答案】-2 【分析】先化简，因为它与最简二次根式能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值． 【详解】解：∵，它与最简二次根式能合并成一项， ∴1-a=3，∴a=-2，故答案为：-2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键． 变式2．（2022·广东广州·八年级期中）若与最简二次根式可以合并，则实数的值是_______． 【答案】##0.5 【分析】根据同类二次根式的定义，可得3＝2a＋2，解出a的值， 【详解】由题意得，3＝2a＋2， 解得：a＝，故答案为． 【点睛】本题考查了同类二次根式的知识，解答本题的关键是掌握同类二次根式的定义． 考点3：二次根式的加减运算 例3．（2022·辽宁朝阳·八年级期中）计算：_________ . 【答案】## 【分析】先将各式化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：．故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练运用运算法则是解本题的关键． 变式3．（2022·上海市八年级期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质分别进行化简计算即可； 【详解】原式 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质化简是解题的关键． 考点4：二次根式的混合运算 例4．（2022·安徽·合肥市第四十六中学南校区八年级阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次