第09讲 二项式定理-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第09讲 二项式定理 【题型归纳目录】 题型一：求二项展开式的特定项或特定项的系数 题型二：二项式之积 题型三：三项式及多项式展开问题 题型四：有关二项式系数的性质及计算的问题 题型五：利用赋值法进行求有关系数和 题型六：二项式定理的综合运用 【知识点梳理】 知识点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： （）， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式（a+b）n的展开式的特点： （1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 知识点二、二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 知识点三：二项式系数及其性质 1、的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大． ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法（的整数且） 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 知识点四：二项式定理的应用 1、求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． 2、利用赋值法进行求有关系数和． 3、利用二项式定理证明整除问题及余数的求法． 4、证明有关的不等式问题． 5、进行近似计算． 【典型例题】 题型一：求二项展开式的特定项或特定项的系数 例1．展开式中的的系数为______________．（用数字作答） 【答案】 【解析】设求的项为， 令，，展开式中的的系数为. 故答案为： 例2．（2022·福建省福州延安中学高三阶段练习）的展开式中常数项为______.（用数字作答） 【答案】84 【解析】根据通项公式, 令 ,解得,所以, 故答案为:84. 例3．（2022·全国·高二课时练习）用二项式定理展开(2x－1)4＝____________． 【答案】16x4－32x3＋24x2－8x＋1 【解析】(2x－1)4＝(2x)4(－1)0＋ (2x)3(－1)1＋ (2x)2(－1)2 ＋ (2x)1(－1)3＋ (2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1． 故答案为：16x4－32x3＋24x2－8x＋1 题型二：二项式之积 例4．（2022·黑龙江·大庆一中高二阶段练习（理））展开式中的系数为_____________. 【答案】-14 【解析】， 则展开式中的系数为， 故答案为：． 例5．（广东省部分学校2022届高三上学期12月大联考数学试题）的展开式中含项的系数为__________. 【答案】240 【解析】对的展开式通项，令得，此时；令得（舍去），故的展开式中含项的系数为. 故答案为：240 例6．（2022·江苏徐州·高三期末）若的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中的系数是___________. 【答案】9 【解析】中令得：，解得：， 的展开式的通项公式为， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，不合要求，舍去， 故展开式中的系数为. 故答案为：9. 例7．（2022·山东·淄博市临淄中学高三阶段练习）的展开式中，项的系数为35，则实数a的值为______． 【答案】或3 【解析】由二项式定理的通项可得， ， ， ， 因为项的系数为35， 所以，整理得， 解得或， 故答案为：或3. 题型三：三项式及多项式展开问题 例8．（2022·江苏·高二阶段练习）展开式中的系数是___________. 【答案】 【解析】的展开式中，含有的项为： ， 所以展开式中的系数是. 故答案为： 例9．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）在的展开式中，的系数为___________. 【答案】 【解析】二项式的通项公式为：， 令，二项式的通项公式为：， 令， 所以的系数为， 故答案为： 例10．（20