专题5.15 命题、定理、证明（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题5.15 命题、定理、证明（知识讲解） 【学习目标】 1、 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论； 2、 掌握定理的定义，理解定理与真命题的关系，能写出一个定理的逆命题，并判断是否为真命题； 3、 理解并掌握证明的基本推理过程。 【要点梳理】 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 特别说明： （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 特别说明： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 【典型例题】 类型一、命题、定理、证明➽➼命题的判断✮✮真（假）命题 1．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ (1) 将27开立方． (2) 任意三角形的三条中线相交于一点吗？ (3) 锐角小于直角． (4) （a为实数）． 【答案】(1)不是命题；(2)不是命题；(3)是命题；(4)是命题 【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可． （1）解：将27开立方不是命题； （2）任意三角形的三条中线相交于一点吗？不是命题； （3）锐角小于直角是命题； （4）（a为实数）是命题． 【点拨】本题主要考查了命题的定义， 一般地，在数学中把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 举一反三： 【变式1】写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1) 三角形三个内角的和等于； (2) 两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题；(2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可． （1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”，逆命题是真命题； （2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”， 逆命题是真命题． 【点拨】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键． 类型二、命题、定理、证明➽➼命题的题设、结论✮✮逆命题✮✮互逆命题 2．命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角 (1) 写出这个命题的逆命题； (2) 判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)逆命题是：“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角” (3) 假命题，反例：两个角都是直角 【分析】（1）根据逆命题的定义，把原命题的条件与结论互换即可．（2）举出反例，即可证明命题为假命题． 解答：（1）原命题中，条件为“一个锐角和一个钝角”，结论为“这两个角一定互为补角”，将条件与结论互换，得到逆命题，即“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”． （2）∵互补的两个角可以都为直角， ∴“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”是假命题． 反例是“两个角都是直角”． 【点拨】本题考查了逆命题，以及真假命题，熟练掌握相关定义即可得到结论． 举一反三： 【变式1】 已知命题“如果，那么．” (1) 写出此命题的条件和结论； (2) 写出此命题的逆命题； (3) 判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)条件为：；结论为：；(2)如果，那么；(3)假命题，反例不唯一 【分析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可； （3）举出反例即可． 解：（1）此命题的条件为：，结论为：； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； （3）此命题的逆命题是假命题， 当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如时，，而． 【点拨】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为