第19期 数列的概念、等差数列-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版）

书 一、单项选择题 １～４　ＢＤＡＡ　５～８　ＢＢＤＢ 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＢＤ；　１２．ＣＤ． 三、填空题 １３．±槡１５；　１４．（２，＋∞）；　１５．槡２３；　１６．槡５－１． 四、解答题 １７．解：（ｍ＋２）ｘ＋（ｍ－３）ｙ＋５＝０可化为（ｘ＋ ｙ）ｍ＋２ｘ－３ｙ＋５＝０， 令 ｘ＋ｙ＝０， ２ｘ－３ｙ＋５＝０{ ，得 ｘ＝－１，ｙ＝１{ ． 所以直线ｌ恒过定点Ｅ（－１，１）． 圆Ｐ的圆心为（１，－２），ｒ＝４， 所以当ＡＢ⊥ＰＥ时，｜ＡＢ｜最小， 此时｜ＡＢ｜＝２ ｒ２－｜ＰＥ｜槡 ２ ＝２ １６－槡 １３＝ 槡２３． １８．解：（１）当ａ＝０时，直线ｍ：ｘ－３ｙ－６＝０， 由 ｘ－３ｙ－６＝０， ｘ－２ｙ＋３＝０{ ，解得 ｘ＝－２１ｙ＝－{ ９， 即ｍ与ｎ的交点为（－２１，－９）． 由ｌ⊥ｎ，设直线ｌ的方程为２ｘ＋ｙ＋ｔ＝０， 将（－２１，－９）代入ｌ的方程，解得ｔ＝５１， 所以直线ｌ的方程为２ｘ＋ｙ＋５１＝０． （２）由ｍ∥ｎ得ａ－１１ ＝ ２ａ＋３ －２ ≠ ６－ａ ３ ， 解得ａ＝－１４， 此时直线ｍ的方程为ｘ－２ｙ－５＝０， 直线ｍ与ｎ间的距离为｜３－（－５）｜ １２＋（－２）槡 ２ ＝ 槡８５５． １９．解：（１）若命题 ｐ为真，即 方程 ｘ２ ｍ－３＋ ｙ２ ｍ＋１＝１表示双曲 线，所以（ｍ－３）（ｍ＋１）＜０，解得 －１＜ｍ＜３． 所以实数 ｍ的取值范围为 （－１，３）． （２）若命题 ｑ为真，即不等式 ｍ２－（２ａ＋２）ｍ＋ａ２＋２ａ≤０成立，解得ｍ∈［ａ，ａ＋２］， 因为ｑ是ｐ的充分条件，所以［ａ，ａ＋２］（－１，３）， 故 －１＜ａ， ａ＋２＜３{ ，解得 －１＜ａ＜１． 所以实数ａ的取值范围为（－１，１）． ２０．解：（１）设ｙ－１ｘ－２＝ｋ，整理得ｋｘ－ｙ－２ｋ＋１＝０， 则ｋ表示点Ｐ（ｘ，ｙ）与点（２，１）连线的斜率， 当该直线与圆相切时，ｋ取得最大值和最小值， 又由 ｜２ｋ｜ ｋ２＋槡 １ ＝１，解得ｋ＝±槡３３， 所以 ｙ－１ ｘ－２的最大值为 槡３ ３． （２）设ｍ＝２ｘ＋ｙ，整理得２ｘ＋ｙ－ｍ＝０， 则ｍ表示直线２ｘ＋ｙ－ｍ＝０在ｙ轴上的截距， 当该直线与圆相切时，ｍ取得最大值和最小值， 由 ｜１－ｍ｜ ２２＋１槡 ２ ＝１，解得ｍ＝１±槡５， 所以２ｘ＋ｙ的最小值为１－槡５． ２１．解：（１）Ｒ是线段ＰＦ与ｙ轴 的交点，直线ｌ和ｙ轴平行，则Ｒ是 线段ＰＦ的中点，如右图． 又ＲＱ⊥ ＦＰ，于是 ＱＲ是线段 ＰＦ的中垂线，即得ＱＰ＝ＱＦ． 而ＰＱ⊥ｌ，动点Ｑ到点Ｆ的距 离等于点 Ｑ到直线 ｌ的距离，所以 动点Ｑ的轨迹是开口向右的抛物 线， Ｆ是焦点，ｌ是准线，依题意动点Ｑ不能与Ｏ重合， 故动点Ｑ的轨迹曲线Ｃ的方程为ｙ２ ＝４ｘ（ｘ＞０）； （２）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｙ１≠０，ｙ２≠０， 联立 ｘ＝ｍｙ＋４， ｙ２ ＝４ｘ{ ， 得ｙ２－４ｍｙ－１６＝０， 则ｙ１＋ｙ２ ＝４ｍ，ｙ１ｙ２ ＝－１６， 则有 →ＯＡ·→ＯＢ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝ ｙ２１ ４· ｙ２２ ４ ＋ｙ１ｙ２ ＝ （－１６）２ １６ ＋（－１６）＝０，所以 →ＯＡ·→ＯＢ为定值０． ２２．解：由题意可得正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１棱长为 ２， 则 Ａ（２，０，０），Ｂ（２，２，０），Ａ１（２，０，２），Ｄ（０，０，０）， Ｃ（０，２，０）， 设Ｅ（０，ａ，２）（０≤ａ≤２），Ｆ（ｂ，２，２）（０≤ｂ≤２）， 则 →ＥＦ＝（ｂ，２－ａ，０），Ａ１→ Ｃ＝（－２，２，－２），→ＡＥ＝ （－２，ａ，２），→ＢＦ＝（ｂ－２，０，２）， 所以 →ＥＦ·Ａ１→ Ｃ＝４－２（ａ＋ｂ），→ＡＥ·→ＢＦ＝８－２ｂ． 选择①：（→ →ＤＥ＋ＣＦ）⊥（→ →ＤＥ－ＣＦ）， 所以（ → →ＤＥ＋ＣＦ）·（→ →ＤＥ－ＣＦ）＝０，→ＤＥ２ →＝ＣＦ２， 得ａ＝ｂ， 若ＥＦ⊥Ａ１Ｃ，则 →ＥＦ·Ａ１→ Ｃ＝０， 即４－２（ａ＋ｂ）＝０，所以ａ＝ｂ＝１， 故存在点Ｅ（０，１，２），Ｆ（１，２，２），满足ＥＦ⊥Ａ１Ｃ， →ＡＥ·→ＢＦ＝８－２ｂ＝６． 选择②：因为 →｜ＤＥ｜＝槡１７２ ， 所以 ａ２＋槡 ４＝槡 １７ ２ ，解得ａ＝ １ ２． 若ＥＦ⊥Ａ１Ｃ，则 →ＥＦ·Ａ１→ Ｃ＝０， 即４－２（ａ＋ｂ）＝０，解得ｂ＝ ３２． 故存在点 (Ｅ ０，１２， )２ ， (Ｆ ３２，２， )２ ，满足 ＥＦ⊥ Ａ１Ｃ， →ＡＥ·→ＢＦ＝８－２ｂ＝５． 选择③：因为０＜ｃｏｓ〈→ＥＦ，→ＤＢ〉＜１， 所以 →ＥＦ与→ＤＢ不共线， 所以ｂ≠２－ａ，即ａ＋ｂ≠２， 则 →ＥＦ·Ａ１→ Ｃ＝４－２（ａ＋ｂ）≠０， 故不存在点