第18期 选择性必修第一册复习(二)-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

书 对于抛物线的求解，解题方法选用的是否得当，常 常引起解题的难易、繁简的差异．因此，解题时还需讲究 一些策略，本文对有关抛物线问题的求解作简单的分 析，以供参考，望对你有所帮助． 一、巧取特殊点或特殊位置 对于一些选择题，从选择项中提供的信息进行分 析，选取恰当的特殊情况，往往也能迅速，准确求解，避 免小题大做． 例１过抛物线 ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的焦点Ｆ作一直线交 抛物线于Ｐ，Ｑ两点，若线段ＰＦ与ＦＱ的长分别是ｐ，ｑ，则 １ ｐ＋ １ ｑ的值为 （　　） （Ａ）２ａ　　　（Ｂ）１２ａ　　　（Ｃ）４ａ　　　（Ｄ） ４ ａ 解：取直线ＰＱ∥ｘ轴， 则ｐ＝ｑ＝ １２ａ，则 １ ｐ＋ １ ｑ ＝４ａ， 故选（Ｃ）． 点评：抓住“过焦点Ｆ作一直线交抛物线于 Ｐ，Ｑ两 点”这一信息，采用特殊位置法解题，就简单得多． 二、巧设方程 确定抛物线的方程是一类重要的题型，在许多情况下， 若恪守常规，不但过程繁琐，而且运算量大，若能根据题目 的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简的目的． 例２抛物线的顶点为原点，焦点在ｘ轴上，且被直线 ｙ＝ｘ＋１所截的弦长为槡１０，求此抛物线的方程． 解：设抛物线的方程为ｙ２ ＝ａｘ（ａ≠０）， 则有 ｙ２ ＝ａｘ， ｙ＝ｘ＋１{ ， 消去ｙ得ｘ２＋（２－ａ）ｘ＋１＝０． 设弦ＡＢ的端点为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２） 则ｘ１＋ｘ２ ＝ａ－２，ｘ１ｘ２ ＝１． 由弦长公式得 ＡＢ＝ １＋ｋ槡 ２·｜ｘ１－ｘ２｜ ＝槡２· （ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝槡１０， 即 （ａ－２）２－槡 ４＝槡５，解得ａ＝－１或ａ＝５， 所以所求的抛物线方程为ｙ２ ＝－ｘ或ｙ２ ＝５ｘ． 点评：此题焦点位置确定，而开口方向未定，常规方 法需要分类讨论，而通过巧设，避免了分类讨论，从而简 化了解题过程． 三、建立关系、设而不求 有关解析几何的解题，通常把题目中某些相关的点 的坐标先设出来，但在解题中并不求出它的具体值，只 把它们作为解题过程中的“桥梁”，使问题快速获解． 例３已知抛物线ｙ２＝－８ｘ的弦ＰＱ被点Ａ（－１，１） 平分，求弦所在的直线方程． 解：设点Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）， 由题意知ｘ１≠ｘ２， 则有 ｙ２１ ＝－８ｘ１， ｙ２２ ＝－８ｘ２ { ， 两式相减得ｙ２１－ｙ ２ ２ ＝－８（ｘ１－ｘ２）， 即（ｙ１－ｙ２）（ｙ１＋ｙ２）＝－８（ｘ１－ｘ２）， 因为Ａ是ＰＱ的中点， 所以ｙ１＋ｙ２ ＝２，即ｙ１－ｙ２ ＝－４（ｘ１－ｘ２）， 所以直线ＰＱ的斜率ｋ＝ ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝－４， 所以所求弦ＰＱ所在直线方程为ｙ－１＝－４（ｘ＋１）， 即４ｘ＋ｙ＋３＝０． 点评：本题也可设斜率为ｋ的直线方程，并将其与抛 物线方程联立，利用根与系教的关系解题，但采用这种 “设而不求”的方法显得更简便． 书 热点问题一　证明问题 例１如图 １，已知在四面体 ＰＡＢＣ中，→ＰＡ＝ａ，→ＰＢ＝ｂ，→ＰＣ＝ ｃ，Ｇ∈平面ＡＢＣ． 若Ｇ为△ＡＢＣ的重心，证明： →ＰＧ＝ １３（ａ＋ｂ＋ｃ）． 分析：要用ａ，ｂ，ｃ表示→ＰＧ，只 需结合图形，充分利用空间向量的加减法与数乘运算即 可． 证明：连接ＡＧ并延长交ＢＣ于Ｄ，则Ｄ平分ＢＣ，且Ｇ 分 →ＡＤ所成的比为２∶１，从而 →ＰＧ＝→ＰＡ＋→ＡＧ＝ａ＋２３ →ＡＤ， →ＡＤ＝ １２（ →ＡＢ＋→ＡＣ） ＝ １２［（ →ＰＢ－→ＰＡ）＋（→ＰＣ－→ＰＡ）］ ＝ １２（ｂ＋ｃ－２ａ）， 故 →ＰＧ＝ａ＋１３（ｂ＋ｃ－２ａ）＝ １ ３（ａ＋ｂ＋ｃ）． 热点问题二　求线段的长 例２已知空间四边形ＡＢＣＤ的每条边和每条对角线 长度都等于ａ，Ｍ，Ｎ分别是边 ＡＢ，ＣＤ的中点，求 ＭＮ的 长． 分析：由于该空间四边形的每条边与对角线长度都 相等，因此每一个面都是正三角形，以同一个顶点出发 的三条棱作为基底，将有关向量分解． 解：如图２所示，设→ＡＢ＝ｐ， →ＡＣ＝ｑ，→ＡＤ＝ｒ，由题意知 ｜ｐ｜＝｜ｑ｜＝｜ｒ｜＝ａ， 且ｐ，ｑ，ｒ三向量两两夹角均 为６０°， 因为 →ＭＮ＝→ＡＮ－→ＡＭ ＝ １２（ →ＡＣ＋→ＡＤ）－１２ →ＡＢ ＝ １２（ｑ＋ｒ－ｐ）． 所以｜→ＭＮ｜＝ １４（ｑ＋ｒ－ｐ） ２ ＝ １４［ｑ ２＋ｒ２＋ｐ２＋２（ｑ·ｒ－ｑ·ｐ－ｒ·ｑ）］ ＝ １ [４ ａ２＋ａ２＋ａ２＋ (２ ａ ２ ２－ ａ２ ２－ ａ２ ) ]２ ＝ １４×２ａ ２ ＝ａ ２ ２． 所以｜→ＭＮ｜＝槡２２ａ，故ＭＮ的长为 槡２ ２ａ． 点评：运用空间向量解题，应注意选取适当的基底 对相关的向量进行合理的分解．基底的选取应注意以下 两点：一是三个向量不共面；二是这三个向量中两两的 夹角都可求．一般在四面体、正方体和长方体中，都是以 从同