1.4二次函数与一元二次方程的联系 教学设计2022-2023学年湘教版九年级数学下册

课题

1.4二次函数与一元二次方程的联系

单元

第一单元

学科

数学

年级

九

教材分析

   本章前两节学习了二次函数的解析式的形式，以及由不共线的三点确定二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）解析式。当y=0时，就转化为方程ax²+bx+c=0（a≠0）；二次函数与y轴的交点的横坐标，就是对应的方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根。此时二次函数与一元二次方程就有了联系，我们这节课就研究二者之间的关系。

核心素养分析

   本节内容是研究二次函数以及一元二次方程的联系，二次函数模型比较重要，而画出二次函数图像比较直观，方便研究二次函数与y轴的交点，可以培养学生的建模能力，另外，对于一元二次方程的计算，又锻炼了学生的运算能力，本节课也体现了数形结合的思想。

学习

目标

1. 理解二次函数的图象与一元二次方程的根的关系；

2. 利用根的判别式△判断二次函数图象与x轴的位置关系；

3. 运用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值；

4. 运用一元二次方程ax2+bx+c=M，求二次函数的自变量。

重点

理解二次函数的图象与一元二次方程的根的关系

理解根的判别式△判断二次函数图象与x轴的位置关系

难点

运用一元二次方程ax2+bx+c=M，求二次函数的自变量

教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

导入新课

利用判别式△=b2-4ac如何判定一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况？

1.b2-4ac＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根。

2.b2-4ac＜0，一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根

3.b2-4ac=0，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根。

回顾知识，温故知新，复习利用判别式△=b2-4ac判定一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况

学生复习一元二次方程的知识，引入本节二次函数与一元二次方程的关系。

讲授新课

画出二次函数y=x2-2x-3的图象,你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？ 二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程 x2-2x-3=0有怎样的关系？

如图1-14，二次函数y= x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）.

由交点坐标可知， 当x＝-1 时，y＝0 ，即 x2-2x-3＝0，

也就是说，x＝-1是一元二次方程 x2-2x-3＝0的一个根。

同理，当x＝3时，y＝0，即x2-2x-3= 0，

也就是说，x＝3 是一元二次方程 x2-2x-3＝0 的一个根.

一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x 轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x＝x1，x＝x2.

动脑筋

观察二次函数 y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象（如图1-15），分别说出一元二次方程x2-6x+9＝0 和 x2-2x+2＝0 的根的情况.

二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有重合的两个交点，

学生独立思考、小组合作，画出二次函数图形，研究二次函数与x轴的交点，得出方程的根与交点横坐标的关系。

由特殊情况推广到一般，得出二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x 轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根。

学生总结二

提出问题，激发学生学习兴趣，熟悉二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程 x2-2x-3=0的关系。

学生熟悉记忆规律，学会运用。

其坐标都是（3，0），而一元二次方程x2-6x+9＝0有两个相等的实根：x1＝3， x2=3.

二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程 x2-2x+2＝0没有实数根.

从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切. 那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？

求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，

因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.

由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.

例1  求一元二次方程x²-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1)

分析：一元二次方程x２-2x-１＝0的根就是抛物线

y＝x２-2x -１与ｘ轴的交点的横坐标．

因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与ｘ轴 的交点的横坐标 .这种解一元二次方程的方法叫作图象法．

解： 设二次函数y=x²-2x-1.

作出二次函数y=x²-2x-1的图象.

可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，

另一个交点在2和3之间.

通过观察或测量，

次函数图像与x轴的位置关系，以及方程的根，与判别式的关系。

通过例题，学生通过二次函数的图像，估计对应方程的根的近似值。

锻炼学生观察图像，估计方程的根。