第一部分 考点八　导数及其应用(二)-【金版教程】2023高考数学大二轮刷题首选卷课件PPT（新教材）

金版健·至真至诚 SINCE 2000- 考点八导数及其应用（二） PART ONE A卷 解答题 1.(2022·河北廊坊高三第一次联考)已知函数x)=a(x-1)-(x+1)lnx. (1)当a=2时，求曲线y=x)在x=e处的切线方程； (2若关于x的不等式0在(1，+)上恒成立，求a的取值范围 解(1)当a=2时， fx)=2(x-1)-(x+1)1nx, 则=士nr+L 从而fe=-尽1+1=6 A卷B卷 答案 因为fe)=2(e-1)-(e+1)=e-3, 所以所求切线方程为y-(e-3)=-(c-e),即y=-x+e-2(或x+ey -e2+2e=0), (x)a(x-1) (2)设g)=x+1 =x+1 --Inx, a(x+1)-a(x-1)1 则g(x)= (x+1)2 x x2+2(1-a)x+1 x(x+1)2, A卷B卷 答案 ①当a≤2时，因为x>1,所以x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1=x-1)>0,即 g'(x)<0, 所以g(x)在(1，+∞)上单调递减，则g(x)<g(1)=0,符合题意. ②当a>2时，设h(x)=x2+2(1-a)x+1,h(1)=4-2a<0,h(2a)=4a+1>0, 所以存在唯一的xo∈(1,2a,使得h(xo)=0, 即存在xo∈(1,2a,使得g'(xo)=0. 当x∈(1，xo)时，g'(x)>0,则g(x)在(1，xo)上单调递增； 当x∈(x,+∞)时，g'(x)<0,则g(x)在(xo,+∞)上单调递减 故g(xo)>g(1)=0,不符合题意. 综上，a的取值范围为(-∞，2]： A卷B卷 答案 2．(2022·北京高考)已知函数f(x)=e^xIn(1+x)。 (1)求曲线y=fx)在点(0，f0))处的切线方程； (2)设g(x)=f'(x)，讨论函数g(x)在[0，+∞)上的单调性； (3)证明：对任意的s，t∈(0，+∞)，有f(s+t)>f(s)+f()。 解（1）∵f(x)=e^xIn(1+x)，∴f(0)=0， 即切点坐标为(0，0)， 又/)=e| hu +）++ ∴切线斜率k=f(0)=1， Δ卷B卷答案 ..切线方程为y=x. 2网==eaa+)+1中 g四=1+对2ga粉 2 .1 令h)=ln(1+0+1+x-(1+x)2, 2 2 则h()=1+x-(1+x)2+(1+x)3 x2+1 =(1+x) 3>0, A卷B卷 答案 .∴.h(x)在[0，+∞)上单调递增， .∴.h(x)≥h(0)=1>0. .∴.g'(x)>0在[0，+∞)上恒成立， .∴.函数g(x)在[0，+∞)上单调递增. (3)证明：原不等式等价于s+)-s)>)-0), m(x)=fx+t)-f(x)(x,t0), 即证m(x)>m(0), .m(x)=fx+)-fx)=e*In (1+x+t)-e In (1+x), A卷B卷 答案 ex+ e' m'()=e+1n(1+x+0+1+r+teln(1+0-1+x=gr+0-g, 出2如)=)=th1+0+1在0，+止单调递错， 又x,t>0,..g(x+t)>g(x), .∴.m'x)>0, .∴.m(x)在(0，+∞)上单调递增， .∴.m(x)>m(0),即命题得证. A卷B卷 答案 3.(2022:广东高三第三次联考)已知函数九)=hx+2,g0)=。-1n a (a>0) (I)设函数h(x)=fx+1)-x-2,求h(x)的最大值； (2)证明：x)≤g(x) 解(1)因为h(x)=lnx+1)-x(x>-1), 历这-x本11=- 当x∈(-1,0)时，h'(x)>0;当x∈(0，+∞)时，h'(x)<0. 所以h(x)在(-1,0)上为增函数，在(0，+∞)上为减函数， A卷B卷 答案