18.2.2.1 菱形的性质 课件 2021—2022学年人教版数学八年级下册

18.2.2.1 菱形的性质 1．理解并掌握菱形的定义和性质． 2．能熟练运用菱形的性质进行计算和证明． 学 习 目 标 你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？ 都具有 新 课 导 入 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 平行四边形 菱形 有一组邻边相等 注意：（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形． （2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定． 合 作 探 究 因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一般性质，即： A B D C 对边平行且相等 对角线互相平分 对角相等 除此之外，菱形还有特殊的性质吗？ 合 作 探 究 有2条对称轴，分别是菱形两条对角线所在的直线． 对称轴之间互相垂直，且每一条对角线平分一组对角． 用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？ （2）它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （3）菱形中有哪些相等的线段？ 菱形是轴对称图形． 菱形的四条边相等． 你会证明吗？ 合 作 探 究 已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O． 求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD；（2）AC⊥BD． 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AD＝BC． 又∵AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD． 合 作 探 究 已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O． 求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD；（2）AC⊥BD，且AC，BD分别平分菱形ABCD的内角． （2）∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形． 又四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD． ∴AO⊥BD，即AC⊥BD． ∴AO平分∠BAD，同理可得AC，BD分别平分菱形ABCD的内角． 合 作 探 究 菱形的四条边都相等． 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 合 作 探 究 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积呢? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢? E 能．过点A作AE⊥BC于点E， 则S菱形ABCD＝底×高＝BC·AE． 合 作 探 究 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积． A B C D O 菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半． 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∴S菱形ABCD＝S△ABC ＋S△ADC ＝ AC·BO＋ AC·DO＝ AC(BO＋DO)＝ AC·BD． 合 作 探 究 例1 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD． 1 2 3 A E B D C F 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠2＝∠3，四边形AEDF是平行四边形， ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AE＝DE， ∴四边形AEDF是菱形， ∴EF⊥AD． 典 例 精 析 解:（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E， ∴∠AED＝90°， DE＝ BD＝ ×10＝5（cm）． 在Rt△AED中，AE＝ ＝12（cm）． ∴AC＝2AE＝2×12＝24（cm）． 例2 如图所示，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD的长为10 cm．求:（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积． 典 例 精 析 例2 如图所示，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD的长为10 cm．求:（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积． （2）菱形ABCD的面积＝△ABD的面积＋△CBD的面积 ＝2×△ABD的面积＝4×△ADE的面积 ＝4××DE×AE ＝4××5×12 ＝120（cm2）． 典 例 精 析 菱形的面积计算有如下方法： （1）一边长与两对边的距离（即菱形的高）的积； （2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）； （3）两条对角线长度乘积的一半． 典 例 精 析 1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（　　） A．32 B．24 C．16 D．18 D A B C O E DC＝2OE＝4 周长＝4DC＝16 C 随 堂 练 习 16 2．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为多少? B D C A E F 解： ∵ E，F分别是AD，BD的中点， ∴ EF是△ABD的中位线， ∴ AB＝2EF＝4． ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC