精品解析：湖南省长沙市明达中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题

长沙市明达中学2023届高三年级12月月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 若复数z满足，其中是虚数单位，则（ ）. A. B. C. D. 3. 在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 设，则的最小值等于（　　） A. 2 B. 4 C. D. 6. 由曲线，，，围成图形绕轴旋转一周所得为旋转体的体积为，满足，，的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 8. ，，，则（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 已知，不等式恒成立，，不等式，则下列说法正确的是（ ） A. 的否定是:，不等式 B. 的否定是:，不等式 C. 为真命题时， D. q为假命题时， 10. “提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（ ） A. “提丢斯数列”是等比数列 B. “提丢斯数列”的第99项为 C. “提丢斯数列”的前31项和为 D. “提丢斯数列”中，不超过300的有11项 11. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上的投影为，则向量与夹角为 C. 与共线的单位向量只有一个为 D. 存在，使得 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在的值域为 B. 若实数满足且，则的取值范围是 C. 实数，关于的方程恰有五个不同实数根 D. 实数，关于方程有四个不同实数根 三、填空题 13. 记为等比数列的前项和.若，则___________. 14. 如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________m. 15. 在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________． 16. 已知函数则根为_____________；若函数有四个零点，则实数的取值范围是___________. 四、解答题 17. 全国第36届中国化学奥林匹克竞赛已经结束，我校学生取得了优异成绩，为了方便统计，现将学生成绩转化为百分制，从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生成绩的中位数； （2）在这100名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90）的人数，求的分布列和数学期望； 18. 对负整数，数、、依次成等差数列． （1）求的值； （2）若数列满足，，求的通项公式； （3）在（2）的条件下，若对任意，有，求的取值范围． 19. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值． 20. 如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面． （1）求点到平面距离； （2）若，且平面平面， 求二面角的余弦值． 21. 已知中，角的对应边分别为，且内切圆的半径. （1）求的值； （2）设，若，求的最大值. 22. 已知函数. （1）若过原点的一条直线与曲线相切，求切点的横坐标； （2）若有两个零点，且，证明： ①； ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市明达中学2023届高三年级12月月考 数学试卷 一、单