29 层级二 专题五 第三讲 最值与范围问题 （教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

第三讲　最值与范围问题

1．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．

解析：　(1)由题意知，p＝2，

所以y2＝4x.

(2)由(1)知，抛物线C：y2＝4x，F(1，0)，

设点Q的坐标为(m，n)，

则＝(1－m，－n)，

＝9＝(9－9m，－9n)

所以P点坐标为(10m－9，10n)，

将点P代入C得100n2＝40m－36.

整理得m＝＝，

设直线OQ的斜率为k，

当n≤0时，k＝＝≤0，

当n>0时，k＝＝＝≤，当且仅当25n＝，即n＝时，等号成立，取得最大值．

所以直线OQ斜率的最大值为.

2．(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.

(1)求C的方程；

(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．

解析：　(1)抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，

此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2，

所以抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1，

由可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4，

由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，

直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，

Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，

所以kAB＝＝＝，

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α，β，

所以kAB＝tan β＝＝，

所以tan α与tan β正负相同，则α与β同为锐角或钝角，所以－<α－β<，

设kMN＝2kAB＝2k>0，则

tan(α－β)＝＝＝≤＝，

当且仅当＝2k即k＝时，等号成立，

所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，

代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，

Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，

所以直线AB：x＝y＋4.

主要利用直线与圆锥曲线的位置关系考查最值、范围问题，难度较大，多为压轴题．着重考查学生数学直观、数学建模、逻辑推理及数学运算等核心素养．

考点一　距离与面积的最值(范围)

已知椭圆C：＋＝1(a>)的右焦点F到左顶点的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，若＝＋，延长AO交椭圆于点G，求四边形AGBE的面积S的最大值．

解析：　(1)由已知得b2＝3，a＋c＝3，a2＝b2＋c2.

联立以上3个式子，可得a2＝4，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)方法一：因为过F(1，0)的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，所以设l的方程为x＝ty＋1，

由得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

因为＝＋，

所以四边形AOBE为平行四边形，

所以S＝S▱AOBE＋S△OGB＝3S△AOB＝|y1－y2|＝＝.

令＝m，则m≥1，S＝＝.

由函数的单调性易得当m＝1，即t＝0时，Smax＝.

方法二：由＝＋知四边形AOBE为平行四边形．

所以S＝S▱AOBE＋S△OGB＝3S△AOB．

当直线AB的斜率不存在时，S＝3S△AOB＝.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0.

由得(4k2＋3)y2＋6ky－9k2＝0.