16 层级二 专题三 第二讲 空间中的平行与垂直（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

第二讲　空间中的平行与垂直 1．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别为AB、BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D A　[在正方体ABCD ­A1B1C1D1中， AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD， 又BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1， 又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2， 则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 则＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，0)， 设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则有可取m＝(2，2，－1)， 同理可得平面A1BD的法向量为n1＝(1，－1，－1)， 平面A1AC的法向量为n2＝(1，1，0)， 平面A1C1D的法向量为n3＝(1，1，－1)， 则m·n1＝2－2＋1＝1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误； 因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误，故选A．] 2．(2021·浙江卷)如图已知正方体ABCD­A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　　 ) A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 A　[连AD1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M为AD1的中点， 又N是D1B的中点，所以MN∥AB，MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD．因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD，则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B，D不正确； 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又因为AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABD1，又因为D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，且直线A1D，D1B是异面直线，所以选项C错误，选项A正确．故选A．] 3．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是(　　) BC　[设正方体的棱长为2， 对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC， 故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角， 在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan∠POC＝＝， 故MN⊥OP不成立，故A错误． 对于B，如图(2)所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN， 由正方体SBCM­NADT可得SN⊥平面ANTD，而OQ⊂平面ANTD， 故SN⊥OQ，而SN∩MN＝N，故OQ⊥平面SNTM， 又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q， 所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确． 对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确． 对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN， 因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角， 因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝， PO＝＝＝，因为QO2<PQ2＋OP2，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D错误．故选BC．] 学生用书第34页 4.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则(　　 ) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ＝1时，三棱锥P­A1BC的体积为定值 C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P BD　[＝λ＋μ(0≤λ≤1，0≤μ≤1)． 对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图1所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋P