4 层级二 专题一 第一讲 三角函数的图象与性质（教师用书）-【金版新学案】2023高考数学大二轮专题复习与测试

第一讲　三角函数的图象与性质 1．(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D． C　[由题意知：曲线C为y＝sin＝sin，又C关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z， 解得ω＝＋2k，k∈Z，又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C．] 2．(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　 ) A．sin(x＋) B．sin(－2x) C．cos(2x＋) D．cos(－2x) BC　[由图象知＝－＝，得T＝π，所以ω＝＝2.又图象过点(，0)，由“五点法”，结合图象可得φ＋＝π，即φ＝，所以sin(ωx＋φ)＝sin，故A错误；由sin＝sin＝sin知B正确；由sin＝sin＝cos知C正确；由sin＝cos＝cos＝－cos知D错误．综上可知，正确的选项为BC．] 3．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 A　[由函数的最小正周期T满足<T<π，得<<π，解得2<ω<3， 又因为函数图象关于点中心对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2， 所以ω＝－＋k，k∈Z，所以ω＝，f(x)＝sin＋2， 所以f＝sin＋2＝1.故选A．] 4．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 AD　[由题意得：f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝，故f(x)＝sin. 对A，当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin u图象(图略)知y＝f(x)在上单调递减，故A正确． 对B，当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin u图象知y＝f(x)只有一个极值点，由2x＋＝，解得x＝，即x＝为函数的唯一极值点，故B错误． 对C，当x＝时，2x＋＝3π，f＝0，直线x＝不是y＝f(x)的对称轴，故C错误． 对D，由y′＝2cos＝－1得cos＝－， 解得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 从而得：x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2cos ＝－1， 切线方程为：y－＝－(x－0)，即y＝－x.故D正确．故选AD．] 5．(2021·全国甲卷)已知函数f＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件>0的最小正整数x为 ． 解析：　由题图可知T＝－＝，即T＝＝π，所以ω＝2， 由“五点法”可得2×＋φ＝，即φ＝－， 所以f(x)＝2cos. 因为f＝2cos＝2cos ＝1， f＝2cos ＝0， 所以由>0， 即(f(x)－1)(f(x)－0)>0，可得f(x)>1或f(x)<0，所以cos>或cos<0.当x＝1时，2x－＝2－∈，cos∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos<0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2. 答案：　2 6．(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题： ①f(x)的图象关于y轴对称； ②f(x)的图象关于原点对称； ③f(x)的图象关于直线x＝对称； ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 ． 解析：　对于命题①，f＝＋2＝，f＝－－2＝－，则f≠f， 所以函数f的图象不关于y轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数f的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，f＝sin＋＝－sin x－＝－＝－f， 所以函数f的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，则f＝f，所以函数f的图象关于直线x＝对称，命题③正确； 对于命题④，当－π<x<0时，sin x<0，则f＝sin x＋<0<2，命题④错误． 答案：　②③ 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： 1．三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查． 2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查． 考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系式 1．已知角α的终边上一点的坐标为(x，1)，若cos α＝，则x的值为(