专题09 一线三垂直模型（K字型）-2023年中考数学几何模型专项复习与训练（四川专用）

专题09 一线三垂直模型（K字型） 模型一、一线三垂直模型（全等三角形） 如图所示，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二、一线三垂直模型（相似三角形） 如图，∠B=∠C=∠APE推出△ABP∽△PCD（一线三等角） 例1．（2022·四川德阳·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为（     ） A． B．4 C．1 D．8－ 例2．（2022·四川省成都市第七中学初中学校一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为_______． 【变式训练1】（2020·四川巴中·模拟预测）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C（4，﹣4），则点B的坐标为_____． 【变式训练2】（2022·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)点P是反比例函数的图象上一点，连接PA，PB，若的面积为4，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接BC，点M是反比例函数的图象上一点，连接MB，若，求满足条件的点M的坐标． 【变式训练3】（2022·四川·威远县凤翔中学二模）【问题背景】如图1所示，在中，，，点D为直线上的个动点（不与B、C重合），连结，将线段绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结. 【问题初探】如果点D在线段上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线于F，如图2所示，通过证明______，可推证是_____三角形，从而求得______°. 【继续探究】如果点D在线段的延长线上运动，如图3所示，求出的度数. 【拓展延伸】连接，当点D在直线上运动时，若，请直接写出的最小值. 图1                       图2                                     图3 课后训练 1．（2022·四川·井研县教育科学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点、点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数的图像上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·四川巴中·中考真题）如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝__________． 3．（2022·四川成都·九年级专题练习）有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为_______． 4．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________． 5．（2022·全国·八年级课时练习）问题背景：（1）如图①，已知中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E，易证：______+______． （2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明． （3）实际应用：如图③，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标． 6．（2021·四川达州·九年级期中）模型探究： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：； 模型应用： （2）已知直线与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转90°至直线，如图2，求直线的函数表达式； （3）如图3，已知点、在直线上，且．若直线与轴的交点为，为中点．试判断在轴上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形． 7．（2022·全国·八年级课时练习）【问题解决】 （1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________； 【类比探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系