第9讲 全等三角形的性质与判定-【寒假衔接】2022-2023学年七年级数学下册预习讲义（北师大版）

第九讲 全等三角形的性质与判定 知识点① 全等形的概念及性质 1） 全等形：能够完全重合的两个图形 2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同 注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。对称图形要求更苛刻些。 ②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等） 知识点② 全等形的定义和表示方法 1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形） 2）表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF） ②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位） ③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得： a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点； b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角； c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。 3）找对应角对应边的方法：①图形特征法；②字母顺序确定法 知识点③ 全等三角形的性质与拓展 1） 全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形 a对应边、对应角相等 b周长、面积相等 c对应边上的中线、角平分线、高相等 2) 只改变图形的位置，不改变图形形状、大小，则变形后的图形与原来图形全等，叫作图形全等变换。 注：①平移、翻折、旋转都是全等变换；②缩放不是全等变换 知识点④ 全等三角形判定条件 三角形全等判定总结： SSS SAS ASA AAS HL斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为HL） 重难点题型 题型1 利用全等三角形求长度 1．如图，在四边形中，，，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，D是上一点，交于点E，，，，，则的长度为（　　） A．2 B．2.5 C．4 D．5 3．如图所示，，，点，，在一条直线上，若，，则的长为（　　） A．2 B．5 C．8 D．15 4．如图，在中，，点M是的中点，是的平分线，作交于F，已知，则的长为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 5．如图，E是的边的中点，，连接并延长交于点D，若，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．3.5 6.如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型2 利用全等三角形求角度 1．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为______． 2．如图，在和中，点 在边 上， 交 于点 ．若 ，，，，则 ____ ． 3．如图，，若，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，，，点B、D、E在同一条直线上，若，则的度数为___________ 5.如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________． 6．如图：，，若，求的度数． 7.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____． 题型3 利用全等三角形证明数量（位置）关系 1．如图，在中，，分别是，边上的高，在上截取，延长至点使，连接，．求证：； 2．如图，已知，，，求证：． 3．如图，、是的高，M为上一点，且，N为延长线上一点，且．试判断与的关系，并证明你的结论． 4．如图，在中， ，过C点任作一直线，过A作于M，过B作于N． (1)如图1，当直线在的外部时，求证：； (2)如图2，当直线在的内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请指出与之间的数量关系并说明理由． 5．在等腰中，，点D在上，延长至点E，使，连接． (1)若， ①如图1，求证：； ②如图2，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，使点A，D，E三点在一条直线上，判定的形状，并说明理由． (2)若，如图3，（1）中①的结论是否成立？若不成立，请给出，之间的数量关系；若成立，请给出证明． 6.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD． 题型4 全等三角形的判定 方法：5种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA） 解题技巧： 1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形；2）寻找边角相等的3组条件。 3）往往有2个条件比较好找，第3个条件需要推理 寻找第3个条件思路： 原则 1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找 2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边 全等三角形证明思路： 1．如图：在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥