第7讲 平行线的判定与性质-【寒假衔接】2022-2023学年七年级数学下册预习讲义（北师大版）

第七讲 平行线的判定与性质 知识点①平行线的概念 1）同一平面两条直线间的关系：①平行；②相交 2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线 注：①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”；②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”） 3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行 注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。 知识点② 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）。 知识点③ 平行线的性质 1）两直线平行，同位角相等; 2）两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。 ②3类角若有大小关系，也可用于证明两条直线平行。 4）同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长度，叫作这两条平行线间的距离。 注：a.只有平行线间才存在距离这一说法。（重叠，距离为0）；b.平行线间的距离，处处相等；c.垂直于一条直线，一定垂直于另一条平行线（易证） 重难点题型 题型1 证平行线的技巧 解题技巧： 1）、借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。 2）、转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。 1．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线CD与直线AB相交与点O，直线外有一点P． (1)过点P画，交AB于点M，过点P画，垂足为N； (2)若、求∠COM的度数． 3．如图，已知，，，判断与之间的位置关系，并说明理由. 4．如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 5．已知：如图，∠1=∠2=∠3=55°，求∠4的度数． 6．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由． 题型2 平行线的性质 解题技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。 1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。 2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。 1．如图，直角三角板的直角顶点放在直线上，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线分别与直线相交于点，已知，平分交直线于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知 AF 是∠BAC 的平分线，点 D 在 AB 上，过点 D 作交 AF 于点 E．若∠DEA=28°，则∠BDG 的度数为（   ） A．28° B．34° C．48° D．56° 4．在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（    ） A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55° 5．解答下列问题 (1)（问题情景）如图1，若，．过点P作，求的度数； (2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，问之间有何数量关系？请说明理由； (3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，用含有的式子表示的度数． 题型3、构造辅助线之添加平行线 解题技巧：1）证平行的题目，辅助线技巧比较单一，常见题型仅“添加平行线”这一种方法。当要求解的几个角之间“距离”比较远，3类角难以扯上关系时，通常用“添加平行线”的方法，过渡出“距离”较远角之间的关系。2）“M”型图形，通常通过添加平行线辅助线来与平行联系上 1．如图，已知，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　） A． B． C