第3讲 平方差公式-【寒假衔接】2022-2023学年七年级数学下册预习讲义（北师大版）

第三讲 平方差公式 知识点 平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。 重难点题型 题型1 平方差的基本运用 解题技巧：套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形。 平方差公式为：，常见变化如下： 位置变化：（a+b）（－b+a）=；符号变化：（－a－b）（a－b）=－（） 系数变化：（3a+2b）（3a－2b）= 指数变化： 项数变化：（a+b－c）（a－b+c）= 连用变化：（a+b）（a－b）（）=（）（）= 1．下列算式能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 2．化简（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是______． 4．已知，求的值． 题型2 构造平方差公式及公式逆用 1．若，且，则_____ 2．计算： (1)； (2)． 3．计算：． 4.若，则=_____． 5.的计算结果的个位数字是（ ） A．8 B．6 C．2 D．0 题型3比较大小 1．若，则下列a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，，比较a、b、c大小（用“<”连接）___________． 3．若，，，则、、的大小关系是________（用“>”连接）． 题型4几何背景 解题技巧：两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。 1．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①；②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果： ． 2．乘法公式的探究与应用： (1)如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形；请你写出阴影部分面积是___________； (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图，则长方形的长是___________，宽是___________，面积是___________；（写成多项式乘法的形式） (3)比较两图阴影部分的面积，可以得到恒等式___________； (4)应用你从（3）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为___________； ②计算：…． 3．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，当然，没有敏锐的观察力是做不到的，数学家们往往是这样来研究问题的：特值探究——猜想归纳——逻辑证明——总结应用，下面我们也来像数学家们那样分四步找出这两个代数式的关系：对于代数式与． (1)特值探究：当时，__________；___________； (2)猜想归纳：观察（1）的结果，写出与的关系：____________． (3)逻辑证明：如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的小正方形之后，剩余部分（即阴影部分）又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则图①中阴影面积可表示为_________，图②中阴影部分面积可表示为________，由阴影部分的面积相等得到等式_________； (4)总结应用：利用你发现的关系，求： ①若，且，则__________；②计算：． 4．图①、图②分别由两个长方形拼成： (1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 课后作业 1．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为___________． 3．若，则______． 4．计算：___________； 5．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题计算经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：_____． 6．（1）运用乘法公式简算： （2）化简： 7．先化简，再求值：，其中，． 8．如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角