28.1 锐角三角函数（讲+练）【10大题型】-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

28.1 锐角三角函数 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 注意： 　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． 　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． 　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． 　　(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． 题型1：锐角三角函数的相关概念 1.如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（　　） A． B． C． D． 题型2：求锐角函数值 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinA，cosA，tanA． 【变式2-1】已知，如图Rt△ABC中，AB=8，BC=6，求sin∠A和tan∠A． 【变式2-2】在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA和tanB的值． 题型3：构造直角三角形求锐角函数值 3.如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，S△ABC=12．试求tan∠B的值． 【变式3-1】如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tan∠ACB的值为 　 　. 【变式3-2】如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值． 特殊角的三角函数值 　　　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 　 　注意： 　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　 　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 题型4：特殊角的三角函数值的计算 4.计算： （1） ； （2） . （3）． 【变式4-1】计算： ． ·sin 60°－·cos 45°＋－. 【变式4-2】先化简，再求值： ﹣1，其中a=2sin60°﹣tan45°，b=1． 锐角三角函数之间的关系 　　如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　　(1)互余关系：，； 　　(2)平方关系：； 　　(3)倒数关系：或； 　　(4)商数关系：． 　 　注意： 　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 题型5：锐角三角函数之间的关系 5.已知α为一锐角，sinα=，求cosα，tanα． 【变式5-1】已知tanα=，α是锐角，求tan（90°﹣α），sinα，cosα的值． 【变式5-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，求cosA的值． 【变式5-3】已知α+β=90°，且sinα+cosβ=，求锐角α． 题型6：锐角三角函数与圆综合 6.如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D． （1）求证：∠CPB=2∠ABC． （2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长． 【变式6-1】如图，AB是⊙O的直