第06讲 平方根和立方根（讲义）-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（人教版）

第06讲 平方根和立方根 【题型导航】 目录 第06讲 平方根和立方根 1 【基础知识点】 1 【重难点剖析】 3 【题型1 求一个数的算术平方根】 3 【题型2 利用算术平方根的非负性解题】 4 【题型3 求一个数的平方根】 6 【题型4 利用平方根解方程】 9 【题型5 求代数式的算术平方根或平方根】 10 【题型6 求一个数的立方根】 11 【题型7 算术平方根和立方根的综合应用】 12 【过关检测卷】 14 【基础知识点】 一、算术平方根 1.定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a叫做被开方数. 2.记法：a的算术平方根记作： . 3.读法：读作“根号a”. 4.规定：0的算术平方根是0，也就是说，=0. 二、的双重非负性 1.被开方数a是非负数. 2. 是非负数. 三、算术平方根的求法和应用 1.求法： (1)根据算术平方根的定义，用平方的方法. (2)应用计算器. 2.应用：利用被开方数越大，对应的算术平方根越大，估算一个被开方数的算术平方根的大小. 【钙奶能理解】 1.判断对错： (1)任何数都有算术平方根. (×) (2)一个数的算术平方根一定是正数. (×) 2.数5的算术平方根为 (A) A.　　 B.25　　 C.±25　　D.± 3.算术平方根等于它本身的数是0和1；0的算术平方根等于它的相反数. 四、平方根 1.定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 2.表示和读法：正数a的平方根用符号“”表示，读作“正、负根号a”. 3.性质： (1)正数有2个平方根，它们互为相反数. (2)0的平方根是0. (3)负数没有平方根. 五、开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算. 2.平方和开平方的关系：互为逆运算. 【概念理解】 1.判断对错： (1)任何数的平方根都有两个 (×) (2)只有正数才有平方根 (×) (3)一个正数的平方根的平方还是这个正数. (√) 2.下列说法不正确的是 (C) A.是2的平方根 B. 是2的平方根 C.2的平方根是 D.2的算术平方根是 3.已知x2=36，那么x=；如果(-a)2=(7)2，那么a=. 六、立方根 1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.即如果x3=a，那么x叫做 a的立方根. 2.表示和读法：数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a”. 3.性质： (1)正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. (2)互为相反数的两个数的立方根：如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也互为相反数. 即：=. 七、开立方 1.定义：求一个数a的立方根的运算. 2.立方和开立方的关系：互为逆运算. 3.一个数立方和开立方： 一个数先开立方，再立方，或者先立方再开立方，仍得原数.即a. 【概念理解】 1.判断对错： (1)任何一个数都有立方根. (√) (2)64的立方根是±4. (×) 2.一个数的立方根是它本身，则这个数是 (D) A.1　　　 B.0或1 C.-1或1　　　 D.1，0或-1 【重难点剖析】 【题型1 求一个数的算术平方根】 例题：（2022·广西·桂林市第八中学八年级阶段练习）计算下列各数的算术平方根 (1)169 (2)0.49 (3)121 (4) 【变式训练】 1．（2022·陕西·西安市第三中学八年级阶段练习）4的算术平方根是（    ） A． B．2 C． D． 2．（2022·河南·南阳市宛城区乐学培训学校八年级阶段练习）25的算术平方根是（    ） A．5 B． C． D． 3．（2022·吉林大学附属中学八年级阶段练习）3的算术平方根是（　　） A．3 B． C． D． 【题型2 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（2022·广东·佛山市禅城区明德中英文学校八年级阶段练习）已知为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．1 C．2 D． 【变式训练】 1．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 2．（2022·广东·东莞市光明中学七年级期中）若，则___． 【题型3 求一个数的平方根】 例题：（2022·全国·八年级专题练习）求下列各数的平方根 (1)49 (2)； (3)2； (4)0.36； (5) 【变式训练】 1．（2022·陕西·太元路学校八年级期中）实数的平方根是____________． 2．（2022·四川·山市中区教育局八年级期中）下列说法中正确的是（   ） A．的平方根为 B．的算术平方根为 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方