第6章 空间向量与立体几何单元综合测试卷-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第6章 空间向量与立体几何单元综合测试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．向量，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题意得：， 即，解得：， 故. 故选：C 2．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．平行或线在面内 【答案】A 【解析】因为，所以与共线，直线与平面垂直. 故选：A. 3．空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，空间四边形中，，，，且，， 如图， 所以， 所以， 故选：D 4．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴，．设异面直线与BN所成角为， 则，∴，∴异面直线与BN所成角的正切值为. 故选：B． 5．笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形．在如图所示的空间直角坐标系中，为长方体，且，，点是轴上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，由图可知，，， A关于轴对称的点为， 所以. 故选：C. 6．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】 如图所示，点E，F分别是，的中点， 因为该正方体的棱长为2，所以，， ∴平面，点G到平面的距离即为点E或F到平面的距离． 方法1：等体积法 ∵为等边三角形，∴，， 设F到平面的距离为d， ∵，∴，解得． 方法2：向量法 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为，则有，得， 可求得平面的法向量为，， ∴． 故选：D 7．在正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．平面 B．异面直线与所成的角为30° C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】对于选项A，假设面 ，则，这与已知与不垂直相矛盾，所以假设不成立. 故选项A错误； 对于选项B，连接，， 因为，所以为异面直线与所成的角或补角， 又因为△为等边三角形，所以，故选项B错误； 对于选项C， 因为，，由面面平行的判定定理可得平面平面，而平面与平面相交，所以平面与平面也相交，故选项C错误； 对于选项D，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体的棱长为1，则，，，，可得，，，设平面的法向量为， 则 ，可取，则，，即， 设平面的法向量为，则， 可取，则，，可得平面的一个法向量为， 由，所以，即平面平面，故选项D正确. 故选：D. 8．在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且.则（     ） A．的长为 B．直线与AC所成角的余弦值 C．的长为 D．直线与BC所成角的余弦值 【答案】C 【解析】对于A，， ， 所以，故选项A错误； 对于B，由题意可知：，， 所以， ， 所以， 故选项B错误； 对于C，，， ， 所以，故选项C正确； 对于D，由选项B的分析可知：，由题意可知：， ， 所以， 故选项D错误， 故选：C. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（    ） A．若向量共面，则它们所在的直线共面 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【解析】对于A，三个向量共面，所在直线不一定在一个平面，故A错误； 对于B，令，又是底面的重心， 所以 ，所以成立，故B正确； 对于C，因为，而，由四点共面的推论可知，所以四点不共面，故C错误； 对于D，在基底下的坐标为，则，故在基底下的坐标为，故D正确. 故选：BD. 10．以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l不能与m垂直 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】ACD 【解析】对于A，，，则，则有不垂直，即直线与不垂直，A正确； 对于B，因，，则，有，于是得，直线l与平面不垂直，B不正确； 对于C，由，得，，即与共线，则， C正