专题07 复合二次根式的化简-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题07 复合二次根式的化简 【例题讲解】 阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：． 例：化简． 解：首先把化为，这里，由于 即．． 请你仿照阅读材料的方法解决下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)化简：写出计算过程 (3)化简：为正整数 【详解】（1）这里， ， 即：， 这里， ， 即：， 故答案为：； （2） 这里， ， 即：， （3） ．．．．．．， 原式．．． 【综合解答】 1．观察下列各式及其化简过程： ， ． (1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简； (2)化简； (3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】（1）将31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案； （2）先将7分解成，计算第二层根式，再将35分解成，利用完全平方公式即可求出答案； （3）将等式两边同时平方即可求出答案． 【详解】（1） （2） （3） 两边平方可得： ∴， 【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方法是解题关键． 2．先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 【答案】(1)④， (2) 【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可； （2）仿照题意进行化简即可． 【详解】（1）解： ① ② ③ ④ ， ∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为， 故答案为：④，； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键． 3．问题探究：因为，所以 因为，所以因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，且，由此把原式中被开方式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可; （2）因为，且，由此把原式中被开方式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可． （1） 解： ＝ ＝ ＝ ＝． （2） ＝ ＝ ＝ ＝ =． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用二次根式的性质化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 4．阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果． 如：在实数范围内化简． 解：设（，为非负有理数），则． ∴ 由①得，，代入②得：，解得， ∴， ∴ 请根据以上阅读理解，解决下列问题： (1)请直接写出的化简结果是__________； (2)化简； (3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解； （3）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的根的判别式求解． （1） 解： ＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：； （2） 设（，为非负有理数），则， ∴， 由①得，，代入②得：， 解得，， ∴，， ∴， ∴； （3） 不能，理由如下： 设（，为非负有理数），则， ∴， 由①得，，代入②得：， 即：， ， ∴关于的一元二次方程无解， ∴不能按照上面的方法化简． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，一元二次方程的解法和根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 5．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)14或46 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． （1） （2） （3） ∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分