专题06 海伦—秦九昭公式-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题06 海伦—秦九昭公式 【例题讲解】 阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：……①（其中、、为三角形的三边长，为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：……②（其中） （1）若已知三角形的三边长分别为，，，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积； （2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程． 【详解】解：（1）由公式得①得 由②得，故 （2）可以，过程如下：， 【综合解答】 1．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式（其中），我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积． 【答案】 【分析】根据题意可直接代入公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的应用是解题的关键． 2．我国南宋时期数学家秦九昭及古希腊的几何学家海伦对于问题：“已知三角形的三边，如何求三角形的面积”进行了研究，并得到了海伦—秦九昭公式：如果一个三角形的三条边分别为，记，那么三角形的面积为，请用此公式求解：在中，，，，求的面积. 【答案】 【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积； 【详解】解：，，, , . 【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大． 3．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p=（a+b+c），则有下列面积公式：S=（海伦公式）；S=（秦九韶公式）． (1)一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先求出，再由海伦公式计算即可； （2）先求出，，，再由秦九韶公式计算即可． 【详解】（1）∵一个三角形的三边长依次为3，5，6， ∴， 由海伦公式得：； （2）∵，，， ∴，，， 由秦九韶公式得：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用以及三角形面积公式；熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 4．材料阅读： 古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式，被称之为秦九韶公式． (1)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求△ABC的面积． (2)在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为____________． 【答案】(1)我同意这种说法． (2) 【分析】（1）分别代入公式求解，答案一样就是一致的； （2）利用角平分线的性质与判定定理得点O到△ABC三边的距离相等，设OD=x，再利用面积相等即可求解． （1） 解：我同意这种说法． 验证：利用海伦公式：p=×（5+6+7）=9． △ABC的面积的面积为：； 利用秦九韶公式： △ABC的面积的面积为 ． ∵， ∴海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．且； （2） 解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴点O分别到AB、BC及BC、AC的距离相等， ∴点O到AB、AC的距离相等， ∴O在∠BAC的平分线上， ∴O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x， ∴△ABC的面积等于：×（5+6+7）x=6， 解得：x=． 所以OD的长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，角平分线的判定定理与性质定理，解题的关键是明白海伦公式与秦九韶公式的运用，代入数据即可． 5．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式” ．解答下列问题：如图，在中，，，． (1)的面积； (2)过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得三角形周长的一半，即的值，然后代入公式进行计算即可求解； （2）根据三角形面积进行计算即可求解． （1） ∵，，，∴， ∴的面积； （2） 如图，∵的面积， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形面积公式，二次根式的应用，正确的计算是解题的关键． 6．秦九韶（1208年－1268年）