专题05 根式中的规律性探究与证明-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题05 根式中的规律性探究与证明 【例题讲解】 探究过程：观察下列各式及其验证过程. （1）；（2） 验证：（1） ； （2） . (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________； =___________； (2)通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论． 解：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，， 验证如下： ， ；故答案为：， （2）通过上述探究你能猜测出， 验证如下： . 故答案为：； 【综合解答】 1．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可． 【详解】解：，，，，，…可写出： ，，，，，…， ∴第10个数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律． 2．观察分析下列数据：0，，2，，，，，…，根据数据排列的规律得到的第10个数据的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知数据得出第n个数为，据此得出第10个数据． 【详解】解：根据题意知第n个数为， ∴第10个数据应该是：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、二次根式的化简，解题的关键是根据已知数据得出第n个数为． 3．观察下列各式：，，，…请利用你所发现的规律，计算，其结果为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知得出数字变化规律，进而化简得出答案． 【详解】解：原式 故选：B． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律以及二次根式运算，正确得出数字变化规律是解题关键． 4．通过计算可知：，则下一个类似的式子是_________． 【答案】 【分析】找到规律即可完成． 【详解】根据前三个式子的规律可得第四个式子为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的规律探索问题，善于观察并找到算式的规律是关键． 5．观察下列等式：，，…请将你发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_____． 【答案】= 【分析】根据已知可以发现等号左边根号下整数与分数的分母相同，通分计算后可以发现根号下的分数，分母为原分数的分母，分子为1，从而得出规律求出即可． 【详解】解：根据式子：，，… 可以发现等号左边根号下整数为n+1时，开方后分母为n+1，被开方数也为n+1， ∴（n≥1）， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了数的规律知识，根据数据前后的变化得出变化规律是解决问题的关键．本题主要考查二次根式的化简的知识点，找出等式规律很重要． 6．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：_____． 【答案】210 【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律并用规律进行求解即可． 【详解】解：＝1， ， ， ＝10， … ∴＝1+2+3+4+…+20＝210． 故答案为：210． 【点睛】此题主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题． 7．观察下组数据，寻找规律：0、、、3、2、……那么第10个数据是__________. 【答案】 【分析】通过观察可知，规律是根号下的被开方数依次是：所以第10个数据应是． 【详解】解：∵0，，，3，，…， 以此类推，第n个数为， ∴第10个数据是， 故答案为：． 【点睛】主要考查了学生的分析，总结，归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，还考查了二次根式的性质． 8．观察下列各式：（1）；（2）；（3）；…，根据上述规律，则______． 【答案】155 【分析】根据前面几个算式的值，探究总结出规律，再计算的值． 【详解】解：因为＝5＝1×4+1， ＝11＝2×5+1， ＝19＝3×6+1， …， ∴＝11×14+1＝155． 故答案为：155． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知算式探究规律，运用探究总结的规律解答． 9．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为________． 【答案】325 【分析】根据①=1；②=3=1+2；③=6=1+2+3；④=10=1+2+3+4，…，可得：=1+2+3+…+n，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：①； ②=3=1+2； ③=6=1+2+3； ④=10=1+2+3+4，…， ∴=1+2+3+…+n， ∴ =1+2+3+…+25 =325． 故答案为：325． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，以及数字的变