专题03 含根号的新定义运算-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题03 含根号的新定义运算 【例题讲解】 对于任意两个正数m、n，定义运算※为： 计算的结果为 _____． 【详解】由题意得：， ∴ 故答案为：． 【综合解答】 1．对于任意的实数m，n，定义一种运算“*”，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题目对“*”的定义把m、n的值代入计算即可． 【详解】解：由已知可得： ∴m*n= = =7， 故选C． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，在观察和理解新定义的基础上把公式中字母的值代入计算即可． 2．对于任意两个实数定义两种运算： ， ，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，那么等于(      ) A． B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据新定义先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：依题意，， ， ， ， ，， ， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义和比较两数的大小是解题的关键． 3．定义新运算：对任意实数、，都有，例如：，那么_________． 【答案】 【分析】根据题目所给的定义新运算先求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查实数的新定义运算，关键是根据题意得到算式，然后由立方根的运算法则进行求解即可． 4．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为________． 【答案】8 【分析】根据新运算要求可知两个数进行新运算等于这两个数和的算术平方根，再加上这两个数的乘积与1的和的立方根，再代入计算即可． 【详解】． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的计算，理解新定义是解题的关键． 5．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么____________． 【答案】## 【分析】根据新定义运算进行运算，即可求得． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键． 6．对于任意两个不相等的正实数a、b，定义运算“”：，如，那么________． 【答案】 【分析】根据题目所给的新定义进行求解即可． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的性质，正确理解题意是解题的关键． 7．对于两个数a、b，且，定义一种运算如下：，如，那么___________． 【答案】 【分析】根据题目所给的新定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的化简，正确理解题意是解题的关键． 8．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：，如，则___________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则先计算括号内的运算： 再计算，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是新定义运算，算术平方根的含义，理解新定义的运算法则是解本题的关键. 9．符号“”表示一种新的运算，规定，则的值为 __． 【答案】 【分析】根据新运算将6*2变换成，然后再计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、新定义的运算等知识点，将新定义运算转换成二次根式的混合运算是解答本题的关键． 10．平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为，即（其中“”是四则运算中的加法）． （1）已知点，，，则勾股值的值为__． （2）满足条件的所有点围成的图形的面积是__． 【答案】     8     18 【分析】（1）根据题目中所给定义勾股值，分别计算出和，再求和即可； （2）设出点的坐标，用横纵坐标表示出，对和进行讨论，可找出对应的图形，判断出形状后，可直接求解． 【详解】解：（1），，， ，， ． 故答案为：8． （2）设的坐标为，则， ， ， 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即． 满足条件的所有点围成的图形是正方形，如下图所示： 该正方形的面积为：． 故答案为：18． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查绝对值法则，及菱形的面积的求法，根据题意，画出图形是解题关键． 11．规定=+，，则＝___． 【答案】## 【分析】利用定=+计算，利用计算的值． 【详解】解：∵ ， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键是理解新定义运算规则，利用规则转化为四则运算． 12．规定新运算“⊗”的运算法则为：a⊗b＝，试求（2⊗6）⊗8的值是______． 【答案】6 【分析】按照新运算的定义进行运算即可． 【详解】解：a⊗b＝ （2⊗6）