第04讲 平面向量的数乘运算-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第4课平面向量的数乘运算 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.了解向量数乘的概念. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算. 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 1.在熟悉课本知识的基础上，了解并充分掌握向量数乘的概念. 2.在掌握向量加减与数乘定义的基础上，理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算. 3.准确理解并掌握向量共线定理及其判定方法． ( 知识精讲 ) 知识点01向量数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 【即学即练1】　设，为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（） A． B． B． C． D． 知识点02向量数乘的运算律 1．设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的、、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【即学即练2】设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________. 知识点03向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【即学即练3】已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 答疑解惑 　向量共线定理中为什么规定a≠0? 答案　若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线． (1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa. (2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa. ( 能力拓展 ) 考法01向量的线性运算 【典例1】(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　) A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 反思感悟　向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【变式训练】若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 考法02用已知向量表示其他向量 【典例2】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示) 反思感悟 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 【变式训练】如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a－b B.a＋b C．a＋b D．a－b 考法03向量共线的判定及应用 【典例3】在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 反思感悟 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【变式训练】设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． ( 分层提分 ) 题组A基础过关练 2022年12月22日高中数学作业 2022.12.15 一、单选题 1．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（） A． B． C． D． 2．在中，点D在BC边上，，则（） A． B． C． D． 3．在△ABC中，，，若，则（） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（） A． B． C． D． 5．是所在平面内一点，，则点必在（） A．内部 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 6．若，，是任意三个空间向量，，则下列关系式中不成立的是（） A． B． C． D． 7．在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（） A． B． C． D．