第05讲 平面向量的数量积（一）-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第5课平面向量的数量积（一） ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积． 1、通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2、理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义. 3、在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的意义，为后续学习空间向量数量积打好基础. ( 知识精讲 ) 知识点01两向量的夹角与垂直 1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)． 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 【即学即练1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 反思感悟 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． 知识点02向量数量积的定义 已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0? 答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b. 【即学即练2】若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于(　　) A．－3 B．－6 C．6 D．2 知识点03投影向量 1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的，叫做向量a在向量b上的投影向量． 2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cosθe. 【即学即练3】（1）已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量． （2）已知||＝6，||＝3，·＝－12，则向量在向量方向上的投影向量的长度为() A．－4 B．4 C．－2 D．2 知识点04平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则 (1)a·e＝e·a＝|a|cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 【即学即练4】(多选)下列说法正确的是(　　) A．向量a在向量b上的投影向量可表示为· B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° D．若a·b＝0，则a⊥b ( 能力拓展 ) 考法01向量的夹角 【典例1】在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 【变式训练】在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为______． 考法02求两向量的数量积 【典例2】若，，，的夹角为135°，则（） A． B． C． D．12 反思感悟 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【变式训练】．已知在方向上的投影为，则的值为 A．3 B． C．2 D． 考法03投影向量 【典例3】（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（） A． B． C． D．在向量上的投影为 反思感悟　投影向量的求法 (1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定． (2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ. 【变式训练】已知，，，则向量在向量上的投影为（） A． B．3 C．4 D．5 ( 分层提分 ) 题组A基础过关练 1．已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为 A． B． C． D． 2．若向量，满足，，，则与的夹角为（） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，则与的