专题1.4 二次根式的乘除（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.4 二次根式的乘除（知识讲解） 【学习目标】 1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 特别说明： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)； (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2. 积的算术平方根: 　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 特别说明： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。 特别说明：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. 　　(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质: 　　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 特别说明：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 知识点三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 特别说明：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 【典型例题】 类型一、最简二次根式➽➼判断✬✬化简✬✬求参数 1．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，符合两个条件； （4）是最简二次根式，被符合两个条件； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 举一反三： 【变式1】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，. 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式． （2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3），符合最简二次根式两个条件； （4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 【点拨】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【变式2】把下列二次根式化成最简二次根式： (1) ； (2) ； (3) ； 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】（1）把32写成16×2，然后化简； （2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简； （3）分子分母都乘以3，然后化简． 解：（1）； （2）； （3）． 【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 【答案】 的值是，的值是；（2）． 【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值； （2）根据算术平方根的概念解答即可． 解：