专题03 由垂直求角-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题03 由垂直求角 【例题讲解】 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD． (1)若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数； (2)若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数． 解（1）解：∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∵∠AOF=50°，∴∠AOC=40°， ∴∠BOC=140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠BOC=70°； （2）解：∠BOD：∠BOE=1：4， 设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x． ∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴∠AOC+∠BOC=180°，即x+4x+4x=180°， 解得x=20°．∵∠AOC与∠AOF互为余角，∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-20°=70°． 【综合解答】 1．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． (1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由； (2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析； (2)∠EOF＝60° 【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案； （2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，进而得出∠EOF的度数． （1） 解：OF⊥OD， 理由：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠FOE， ∵∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°，即∠FOD＝90°， ∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD； （2） ∵∠AOC：∠AOD＝1：5， ∴∠AOC＝×180°＝30°， ∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠EOF＝∠AOE＝60°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键． 2．如图，AB交CD于O，OE⊥AB． (1)若∠EOD＝30°，求∠AOC的度数； (2)若∠EOD：∠EOC＝1：3，求∠BOC的度数． 【答案】(1)60° (2)135° 【分析】(1) 利用垂直定义和对顶角的性质可得答案； (2) 设∠EOD=a，∠EOC=3a，利用邻补角互补可得方程，然后解出a的值，进而可得∠AOD的度数，再利用对顶角的性质可得答案． （1） 解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∵∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°，∠EOD＝30°， ∴∠AOC＝180°－∠AOE－∠DOE＝180°－90°－30°＝60° （2） 设∠EOD＝α， ∵∠EOD：∠EOC＝1：3， ∴∠EOC＝3α， ∵∠EOD＋∠EOC＝180°， ∴α＋3α＝180°， ∴∠EOD＝α＝45°， ∴∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝135° ∵∠AOD与∠BOC为对顶角， ∴∠BOC＝∠AOD＝135° 【点睛】此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等，理清图中角之间的关系． 3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD． (1)若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数； (2)若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数． 【答案】(1)70° (2)50° 【分析】（1）根据∠EOF＝55°，OD⊥OF，可知∠DOE＝35°，由于OE平分∠BOD，可知∠BOE＝35°，即可得出答案； （2）设∠DOE＝∠BOE＝x，可知x+15°+x+15°+x＝180°，解得：x＝50°． （1） 解：∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠DOE， ∵∠EOF＝55°，OD⊥OF， ∴∠DOE＝35°， ∴∠BOE＝35°， ∴∠AOC＝70°； （2） ∵OF平分∠COE， ∴∠COF＝∠EOF， ∵∠BOF＝15°， ∴设∠DOE＝∠BOE＝x， 则∠COF＝x+15°， ∴x+15°+x+15°+x＝180°， 解得：x＝50°， 故∠DOE的度数为：50°． 【点睛】本题主要考查的是角度的基础运算，利用角平分线以及垂直的性质进行计算是解题的关键． 4．如图，直线与相交于点，平分，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)111° 【分析】利用角平分线的性质证明，从而证明 ，再由，通过两角互余及等量代换可证明； 利用对顶角相等和角平分线的性质可证明，再利用、即可求出． （1） ∵平分，平分， ，， ， ， ， ； （2） ， ， ． 【点睛】本题考查的是角平分线、余角、对顶角等知识，解题的关键是熟练通过两角互余、对顶角、角平分线的性质等相应关系进行角的代换解决问题． 5．如图，AB、CD相交于点O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分∠AOE． (1)求