专题05 根据平行线的性质探求角的关系综合题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题05 根据平行线的性质探求角的关系综合题 【例题讲解】 已知：直线EF//MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB= a，BD平分∠CBN交EF于D．（1）若∠FDB=120°，a=90°．如图1，求∠MBC与∠EAC的度数？ （2）延长AC交直线MN于G，这时a =80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值．若不是，请说明理由？ 【详解】（1）如图1，过C作CP∥EF．∵EF∥MN，∴EF∥MN∥CP．∵EF∥MN， ∴∠NBD=180°－∠FDB=180°－120°=60°．∵BD平分∠CBN，∴∠CBD=∠NBD=60°， ∴∠MBC=180°－∠CBD－∠NBD=180°－60°－60°=60°．∵CP∥MN， ∴∠PCB=∠MBC=60°，∴∠ACP=∠ACB－∠BCP=90°－60°=30°．∵EF∥CP，∴∠EAC=∠ACP=30°． （2） ∠GHB为定值50°．理由如下：∵∠CBN是△CBG的外角， ∴∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．∵GH平分∠AGB，BD平分∠CBN， ∴∠HGB∠AGB，∠DBN∠CBN．∵∠DBN是△HGB的外角， ∴∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB（∠CBN﹣∠AGB）∠BCG（180°－80°）=50°，故∠GHB是定值50°． 【综合演练】 1．直线与直线、分别相交于点、，与互补 (1)如图，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由． (2)如图，与的平分线交于点，的延长线与交于点，是上一点，且，求证：PFGH． (3)如图，在（2）的条件下，连接，是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值． 【答案】(1)平行；理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线AB与直线CD平行； （2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PFGH； （3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数． （1） 解：结论：ABCD；理由如下： ∵∠MEB与∠CFM互补，∠MEB=∠AEF， ∴∠AEF与∠CFM互补， ∴ABCD． （2） ∵EG平分∠BEF， ∴∠PEF=∠BEF， 又∵FP平分∠EFD， ∴∠EFP=∠EFD， 由（1）知ABCD， ∴∠BEF+∠EFD=180°， ∴∠PEF+∠EFP=90°， ∴∠EPF=90°， 又∵GH⊥EG， ∴∠HGP=90°， ∴∠EPF=∠HGP， ∴PFGH． （3） 证明：∵， ∴， ∵∠PHK=∠HPK， ∴， ∴， ∵PQ平分∠EPK， ∴， ∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK =∠EPK-∠FPK =（∠EPK-∠FPK） =∠EPF =×90° =45° 即∠HPQ的大小是定值． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角． 2．解答下列问题 (1)（问题情景）如图1，若，．过点P作，求的度数； (2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，问之间有何数量关系？请说明理由； (3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，用含有的式子表示的度数． 【答案】(1)90° (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出，根据两直线平分线同旁内角互补得到，进而可求出的度数； （2）首先根据平行线的性质得到，然后根据平行线的性质得到，进而可得到； （3）首先根据两直线平分线内错角相等得到，然后根据角平分线的概念得到，最后结合（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． ， ． ． 即． （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， 又的平分线和的平分线交于点G， ， 由（2）可知，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 3．已知直线与直线、分别交于、两点，，与的角平分线交于点． (1)如图1，试说明； (2)延长交于点，过点作交直线于点． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交的延长线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)①；②，理由见详解 【分析】（1），根据对顶角相等可知，与的角平分线交于点，可得，由此即可求证； （2）①，可知，且，得，有直角三角形即可求解；②平分，，，，则，平分，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①∵，平