第09讲 离散型随机变量的数字特征-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第09讲 离散型随机变量的数字特征 【题型归纳目录】 题型一：利用定义求离散型随机变量的均值 题型二：离散型随机变量均值的性质 题型三：离散型随机变量均值的应用 题型四：求离散型随机变量的方差 题型五：方差的性质的应用 题型六：均值与方差的综合应用 【知识点梳理】 1、离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 3、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 4、离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 5、几个常见的结论 （1）． （2）若服从两点分布，则． 【典型例题】 题型一：利用定义求离散型随机变量的均值 例1．（2022·江苏·高二阶段练习）在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲､乙两队水平相当，每场甲､乙胜的概率都为，总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为（    ）万元. A．80 B．70 C．50 D．40 【答案】B 【解析】设甲队应分得的奖金为万元，则，80，. 故选：B． 例2．（2022·黑龙江·肇东市第四中学校高二期末）设的分布列如表所示，又设，则等于（       ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可得， 所以． 故选：D． 例3．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为， 若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响， 所以， , ， 所以期望为． 故选：B． 题型二：离散型随机变量均值的性质 例4．（2022·广东广州·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】C 【解析】因为离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2， 所以, 所以. 故选：C 例5．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）已知随机变量的分布列是，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，解得， 所以， 所以； 故选：C 例6．（2022·河北保定·高二阶段练习）已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以， 解得或（舍去）, 故选：D 例7．（2022·山西·晋中新大陆双语学校高二阶段练习）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为： X 0 1 P a b 则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 则有， 解得. 故选：C. 题型三：离散型随机变量均值的应用 例8．（2022·山东聊城一中高二期中）为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下： ①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表： 容易题 中等题 难题 答对概率 0.7 0.5 0.3 答对得分 3 4 5 (1)若甲前两轮都