第07讲 条件概率与全概率公式-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第07讲 条件概率与全概率公式 【题型归纳目录】 题型一：利用定义求条件概率 题型二：条件概率的性质及应用 题型三：全概率公式 题型四：贝叶斯公式 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【知识点梳理】 1、条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 6、在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 【典型例题】 题型一：利用定义求条件概率 例1．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件， 则由题意可得， 则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为 . 故选：. 例2．（2022·上海市金山中学高二期末）从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，：第二次抽到的数字小于第一次，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记事件：第一次抽到的数字为的倍数；事件：第二次抽到的数字小于第一次； 则数字为的倍数的数有：，所以， 第二次抽到的数字小于第一次的情况分为： 第一次抽到的数字为，第二次则抽到，共5种； 第一次抽到的数字为12，第二次则抽到，共11种； 第一次抽到的数字为18，第二次则抽到，共17种. 则， . 故选：B. 例3．（2022·上海·曹杨二中高二期末）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”， 则， 所以. 故选：C 题型二：条件概率的性质及应用 例4．（2022·广东佛山·高二期末）设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：由，而，则，即时成立，否则不成立，排除； B：当A，B是两个相互独立的事件，有，否则不成立，排除； C：由且，故时成立，否则不成立，排除； D：由，而，则，符合； 故选：D 例5．（2022·江苏连云港·高二期末）若，则P(A)=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得，所以， 解得． 故选：C． 例6．（2022·河南郑州·高二期末）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件概率知：，因为，所以，故A不正确； ，与不一定相等，所以不一定成立，故B不正确； ，所以，故C正确； ，故D不正确. 故选：C. 题型三：全概率公式 例7．（2022·全国·高二课时练习）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． 【解析】设A表示第二次取出3个球均为新球，为第一次取出3球中有i个新球，i＝0，1，2，3， 则，，，， ，，，， 所以． 例8．（2022·全国·高二课时练习）