专题1.1 二次根式及其性质（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.1 二次根式及其性质（知识讲解） 【学习目标】 1、 理解二次根式的概念； 2、 掌握并运用二次根式的非负性解决问题； 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)�的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 特别说明： 　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如6，a，m+n，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.≥0，（≥0）； 2. （≥0）； 3.. 特别说明： 1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即. 2.与要注意区别与联系： （1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。 （2).≥0时，==；<0时，无意义，=. 【典型例题】 类型一、二次根式➽➼概念的理解 1．在式子中，二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式． 解：是二次根式，符合题意， 是三次根式，不合题意， 是二次根式，符合题意， 不是二次根式，不合题意． 故选：B． 【点拨】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 举一反三： 【变式】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中， 二次根式有：（x＞0），，，共3个． 故选：C． 【点拨】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 类型二、二次根式➽➼有（无）意义 2．在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】直接根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件计算即可． 解：根据题意得： ， 解得：且． 故选：D． 【点拨】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 举一反三： 【变式1】若，则的值是（    ） A．5 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用二次根式被开方数是非负数，可得y的值，代入可得x的值，从而得解． 解：依题意得：， 解得：， 将代入得， ∴， 故选D． 【点拨】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键． 【变式2】已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得． 解：由题意得：，即， ， ， ， ， 则， 故选：A． 【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键． 类型三、二次根式➽➼求二次根式值✬✬求参数 3．与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 【点拨】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案． 举一反三： 【变式1】已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（    ） A．1 B．2 C．3 D．12 【答案】C 【分析】先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可． 解：∵=且是整式， ∴3n是完全平方数， ∴正整数n的最小值是3 故选C 【点拨】此题主要考查二次根式的定义和化简，熟练掌握二次根式的定义和化简方法是解题的关键． 【变式2】已知有理数满足，则的值是______. 【答案】 【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可． 解：∵， ∴， ∵a，b为有理数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键． 类型四、二次根式➽➼二次根式性质✬✬化简 4．阅化简： (1) ； (2) ； (2) ； (4) ． 【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案即可； （2）直接利