6.1.2&6.1.3&6.1.4 向量的加法、向量的减法、数乘向量-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

6.1.2&6.1.3&6.1.4 向量的加法、向量的减法、数乘向量 一、向量的加法运算 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合， 则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； 向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 二、向量的减法 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 三、数乘向量 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 题型一 向量的加法运算 【例1】如图，已知，求作. （1） （2） 【变式1-1】如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）已知点D，E，F分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】化简 （1）； （2） . 题型二 向量的减法 【例2】如图，已知向量，，，求作向量． 【变式2-1】若是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）化简以下各式，结果为的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】化简下列各式： （1）； （2）. 【变式2-4】梯形中，，与交于点，则____． 题型三 向量的数乘运算 【例3】如图，已知向量，求作向量，． 【变式3-1】化简： （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式3-2】已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求. 【变式3-3】已知向量，，且，求向量． 【变式3-4】已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）． 题型四 利用已知向量表示未知向量 【例4】如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形外一点，且，，，试用向量、、表示向量与. 【变式4-1】如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，向量，，，则向量可以表示为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图所示，在四边形中，，对角线与交于点，设，，用和表示和． 【变式4-4】如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ） A． B． C． D． 题型五