第3讲 平面向量的共线定理、数量积-2022-2023学年高一数学同步题型方法总结精品讲义（人教A版2019必修第二册）

教师版 最寂寞的人 —————举杯邀明月,对影成三人。（《月下独酌》唐·李白） 平面向量专题 第3讲 平面向量的共线定理、数量积 思维导图-------知识梳理 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 考点一 共线定理 思维导图-----方法梳理 向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 题型1：向量共线的判定 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ） A．不共线 B．方向相反 C．方向相同 D． 例2.已知向量，.求证：与是共线向量． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.判断下列各小题中的向量,是否共线（其中是两个非零不共线向量）． （1）； （2）； （3）． 题型2：利用向量共线证明线线平行 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，用向量方法证明：四边形是平行四边形． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．如图，已知四边形ABCD的两条对角线相交于点M，.用平面向量证明四边形ABCD是平行四边形. 题型3：利用向量共线定理判断三点共线 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设=，=. （1）用向量与表示向量; （2）若，判断C，D，E是否共线，并说明理由. 例2.如图，在中，，分别是，的中点，，，． （1）用，表示，，，，； （2）求证：，，三点共线． 例3.如图，已知两边的中点分别为M，N，在延长线上取点P，使，在延长线上取点Q，使.求证：P，A，Q三点共线. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.设是不共线的两个非零向量. （1）若，求证：三点共线； 2.设O为△ABC内任一点，且满足230． （1）若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O共线； （2）求△ABC与△AOC的面积之比． 题型4：利用向量共线定理求参数 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.在中，点是上一点，且，是的中点，与的交点为，且，求的值． 例2.设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值． 例3.已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？ 例4.设两个非零向量不共线，已知＝2＋k，＝＋3，＝2－. 问：是否存在实数，使得，，三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.设是不共线的两个非零向量. （1）若与共线，求实数的值； （2）若，且三点共线，求实数的值. 2.设为的重心，为的重心，过作直线分别交线段，(不与端点重合)于，.若，. （1）求证为定值；（2）求的取值范围. 考点二 共线定理的应用(三角形的面积比问题) 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ） 例2.已知的三个顶点､､及平面内一点满足，则与的面积比为（ ） A． B． C． D． 例3.若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（ ） A． B． C． D． 例4.已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：．则△ABM与△ABC的面积之比为（　　） A． B． C． D． 2.如图，设P为△ABC内一点，且，，，则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于（　　） A．1：5 B．2：5 C．3：20 D．7：20 3.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，点P满足，则S△OBP：S△ABC＝（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：5 D．1：6 考点三 向量的数量积 思维导图-----方法梳理 1.向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况：①，与同向；②，与垂直，记作；③，与反向. 2.平面向量数量积的概念 已知两个非零向量