专题1.1 等腰三角形（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.1 等腰三角形（知识讲解） 【学习目标】 1. 通过折叠等腰三角形纸片,发现并理解等腰三角形性质； 2. 会用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题； 3.掌握并运用等腰三角形关联的几个几何模型。 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 要点二、等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”) 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 特别说明：等腰三角形的性质的作用 （1）性质1在同一个三角形中，把边的问题转化为角的问题，证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． （2）性质2“三线合一”是解决角、线段相等的重要知识点，是用来证明线段相等、角相等、垂直关系重要依据。 （3）等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．通过此内容可以更好理解对称轴是轴对称图形对应点连线的垂直平分线。 要点三、等腰三角形的判定 判定1、如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 判定2、如果一个三角形的一个顶角的外角等于另一个内角2倍，则这个三角形为等腰三角形。 特别说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】 类型一、等腰三角形➽➼等边对等角➽➼求角度✬✬证明 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°． (1) 求∠DAC的度数； (2) 求证：DC＝AB． 【答案】（1）75° （2）证明见解析 【分析】（1）由AB=AC可得∠C=∠B=30°，可求得∠BAC，再利用角的和差可求得∠DAC； （2）由外角的性质得到∠ADC=75°，即可得到∠ADC=∠DAC，从而有AC=DC，即可得到结论． 解：（1）∵AB=AC，∠B=30°， ∴∠C=30°， ∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°， ∵∠DAB=45°， ∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°； （2）证明：∵∠ADC=∠B+∠DAB=30° +45°=75°， ∴∠ADC=∠DAC， ∴AC=DC， ∵AB=AC， ∴AB=CD． 【点拨】考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形的外角性质． 举一反三： 【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=50°，点D是边BC上一点，CD=2，作∠ADE=50°，D交边AC于点E．求证：BD=CE． 【分析】根据“”证明，即可得出结论． 证明：∵, ∴, ∵， ∴， ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴, ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解本题的关键． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．   【答案】45° 【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD＝x，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数． 解：∵DE＝EB   ∴设∠BDE＝∠ABD＝x， ∴∠AED＝∠BDE＋∠ABD＝2x， ∵AD＝DE， ∴∠AED＝∠A＝2x， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝3x， ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中，3x＋3x＋2x＝180°， 解得x＝22.5°， ∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 类型二、等腰三角形➽➼等角对等边➽➼求角度（边长）✬✬证明 2．如图，A