6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式。 2.能用公式求向量的数量积、模、夹角； 3.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 1.数学抽象：用数量积判断两个平面向量的垂直关系; 2.逻辑推理：证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 3.数学运算：利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题； 4.直观想象：用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系。 概念梳理 1. 两向量的数量积的坐标表示 已知两个向量, 向量 , 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即 。 2. 与向量的模、夹角相关的三个重要公式 (1) 向量的模: 设 , 则 。 (2)两点间的距离公式: 若 , 则 。 (3) 向量的夹角公式: 设 都是非零向量, , 是 与 的夹角, 则 . 【概念辨析】 数量积坐标运算的两条途径 1. 先将参与运算的各向量用坐标表示, 再根据运算法则 进行数量积的坐标运算; 2. 先进行向量运算将原式展开, 再依据向量的坐标运算法则进行坐标计算. 以图形为背景的数量积的坐标 运算的一般步骤 1. 依据图形特征建立适当的直角坐标系, 并写出相应点的坐标; 2. 求出参与运算的各向量的坐标; 3. 进行数量积的坐标运算. 求向量的模的两种基本策略 (1) 字母表示下的运算将向量模的运算问题转化为向量的数量积运算的问题, 利用公式 进行运算. (2)坐标表示下的运算 先求出需求模的向量的坐标, 然后利用公式 或进行运算. 利用数量积的坐标运算求两个 向量夹角的步骤 (1) 利用坐标运算求 ; (2)利用 求两个向量的模; (3)由公式 直接 求出 ; (4) 在 内, 由 的值求角. 平面向量的垂直问题 1. 证明垂直问题: 利用 . 2. 根据向量垂直即得其数量积为0 , 从而构建相关量的方程求参数值. 坐标法求解平面几何问题的思路 利用坐标法求解平面几何问题的关键是建立平面直角坐标系, 然后利用向量数量积的坐标表示, 而求解数量积的常用方法如下: (1) 定义法: 利用定义式求解; (2) 坐标法: 利用坐标式求解; (3) 转化法: 求较复杂的向量数量积的运算时, 可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简, 然后进行计算. 回归教材 1. 已知 , 求 . 【解析】 . 2. 已知. 求, . 【解析】 , . , . , . 3. 已知 , 利用计算工具, 求与的夹角(精确到 ). 【解析】, = . 题型讲解 探究（一）向量数列积的坐标运算 【典例1】如图, 在矩形 中, , 点为 的中点, 点在边 上, 若 , 求 的值 【解析】以 为坐标原点, 为 轴、 为 轴建立平面直角坐标系, 则 . 可设 , 因为 , 所以 , 所以 . 【方法总结】关于向量数量积的运算 (1) 进行数量积运算时, 要正确使用公式 及向量的坐标运算, 并注意与函数、方程等知识的联系. (2) 向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法, 另一种是坐标法, 两者相互补充. 如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时, 一般选择坐标法. 【补充训练1】已知向量 , 则 A. 10 B. C. 3 D. 【解析】, 所以 。故选 B。 【补充训练2】已知正方形 的边长为 2 , 是 的中点, 点 满足 , 则 【解析】如图, 以 为原点, 的方向为 轴正方向建立平面直角坐标系, 则 . 设 , 所以 . 因为 , 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , 所以 . 又 , 所以 . 【答案】 【补充训练3】（多选）已知向量 是不平行于 轴的单位向 量, 且 , 则关于说法错误的有（ ） A. B. C. D. 【解析】设 , 其 中 , 则 . 由 解得 即 .故选 ACD 【方法总结】向量数量积运算的途径及注意点: (1) 进行向量的数量积运算, 前提是牢记有关的运算法则和运算性质. 解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示, 直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原 式展开, 再依据已知条件计算. (2) 对于以图形为背景的向量数量积运算的题目, 只需把握图形的特征, 看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法, 并写出相应点的坐标求解. 探究（二）求向量的模 【典例2】已知 , 若 , 求 的坐标及 . 【解析】设 , 则由 , 得 . (1) 由 , 解得 . (2)联立(1)(2