6.4.1 平面几何中的向量方法-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.4.1平面几何中的向量方法 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”； 2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示； 3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 1.数学抽象：平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示； 2.逻辑推理：用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”； 3.数学运算：向量的线性运算及数量积表示； 4. 直观想象：向量在处理平面几何问题中的优越性； 5. 数学建模：通过向量运算的学习理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 概念梳理 1. 平面几何与平面向量转化的逻辑推理利用向量解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题,其解题关键在于把其他语言转化为向量语言, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题。常用方法是建立平面直角坐标系, 借助向量的坐标运算转化为代数问题来解。 2. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题; (2) 通过向量运算, 研究几何元素之间的关系, 如距离、 夹角等问题; (3) 把运算结果“翻译”成几何关系。 3. 平面向量及三角形的“四心” 设为 所在平面上一点, 内角 所对的边分别为 , 则 (1)为 的外心 . (2)为 的重心 。 (3)为 的垂心 (三角形三边高的交点) . 。 (4)为 的内心 。 【概念辨析】 研究平面几何的常用方法 1. 综合法. 综合法是欧几里得几 何学最早用来研究几何的方法, 它 根据基本的逻辑原理 (矛盾律、排 中律等), 从公理、定理、性质等出 发, 通过演绎推理解决几何问题. 2. 向量法. 用向量法研究几何图 形的过程可以简单表述为: 几何图形到向亘 恰当的向量运算 向量到几何关系 3. 解析几何法 . (将在选择性必修中学习) 回归教材 1. 证明: 等腰三角形的两个底角相等. 【证明】已知 . ，，. , , 2. 如下页图, 正方形的边长为是的中点, 是边上靠近点的三等分点, 与交于点, 求的余弦值. 【解析】解法一: , , =. 解法二: 建立如图所示的直角坐标系. 则 , , 则 ,,, ,. 3. 如下页图, 在中, 点是的中点, 过点的直线分别交直线于不同的两点. 设, 求的值. 【解析】 点 是 的中点, , , 题型讲解 探究（一）平面几何中的垂直问题 【典例1】如图所示, 在正方形中, 分别是的中点, 求证: 。 【证明】证法一: 设 , 则 。 又 , 所以 。 故 , 即 。 证法二: 如图所示, 建立平面直角坐标系, 设正方形的边长为2 , 则 , , 则 , 。 因为 , 。 所以 , 即 。 【方法总结】利用向量证明问题 (1)常见的利用向量证明的问题. (1)利用共线向量定理证明线线平行或点共线; (2)利用向量的模证明线段相等; (3)利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法. (1)基向量法: 选取已知的不共线的两个向量作为基向 量, 用基向量表示相关向量, 转化为基向量之间的向量 运算进行证明; (2) 坐标法: 先建立平面直角坐标系, 表示出点、向量的坐 标, 利用坐标运算进行证明. 【补充训练1】已知 是非零向量, 且满足 , 则 的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【解析】因为 ,所以 , 即 ,因为 ,所以 , 即 ,所以 , 即 , 则 ,所以 , 所以为等边三角形. 【补充训练2】如图, 在中, 是的中点, 于点 是的中点.则是否垂直. （填“垂直”或“不垂直”） 【解析】如图所示, 连接.把有关线段看成向量. 为的中点, . 又- 为的中点, - . 由题意知 .所以填垂直 【补充训练3】（多选）若为所在平面内一点, 且满足 , 则关于 的说法错误的是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【解析】， =，即 ，如图，取的中点，所以 , 又 ，所以 ，可知 所以可得 是 的垂直平分线，所以 是等腰三角形。故选ACD 【方法总结】向量法解决平面几何的两种方法 （1）基底法: 选取适当的基底 (尽量选取已知模或夹角的向量作为基底), 将题中涉及的向量用基底表示, 利用向量的运算法则、运算规律及相关结论探求几何关系. (2) 坐标法: 建立平