5.3.3&5.3.4&5.3.5&5.4 古典概型、频率与概率、随机事件的独立性、统计与概率的应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

5.3.3&5.3.4&5.3.5&5.4 古典概型、频率与概率、 随机事件的独立性、统计与概率的应用 一、古典概型的判断 1、古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验， 其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点， 则定义事件A的概率P(A)＝＝， 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 二、频率与概率 1、频率的稳定性 大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2、频率的求法 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率， 频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值是概率． 3、频率和概率区别和联系 区别：（1）在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． （2）概率是度量随机事件发生的可能性大小的量 （3）频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性． 联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 三、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 3、用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； （4）利用乘法公式计算概率． 四、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 AB A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型一古典概型的特征与判断 【例1】下列试验是古典概型的是（ ） A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 【变式1-2】下列有关古典概型的说法中，错误的是（ ） A．试验的样本空间的样本点总数有限 B．每个事件出现的可能性相等 C．每个样本点出现的可能性相等 D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率 【变式1-3】下列不是古典概型的是（ ） A．在6个完全相同的小球中任取1个 B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点 C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色 D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率 【变式1-4】下列是古典概型的是（ ） ①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小； ②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率； ③近三天中有一天降雨的概率； ④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率. A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式1-5】（多选）下列概率模型不属于古典概型的是（ ） A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 C．一只使用中的灯泡的寿命长短 D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差” 题型二 古典概型的概率计算 【例2】现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入一个盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片