专题3 考点16 导数的概念及运算-【择数·高考闪电提分】2023高考数学基础必刷1000题

按数高考。° 专题三导数 核心知识 1.几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f(.x)=0 f(x)=x f(x)=1 f(x)=x2 f'(x)=2x f(.x)=1 f)=-是 f(x)=√元 f(x)=1 2√x 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=0 f(.x)=x(a∈Q,a≠0) f(.x)=a.x8-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin c f(.x)=a(a>0,且a≠1) f(x)=a"In a f(x)-e f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) 1 f(x)= xln a f(z)=In x f(.x)= x 特别提醒： ①y'=(ar)'=ar·lna,当a=e时，e的导数是(a)的一个特例. ②y=lgr/=na也可记为ogx/=}ge,当a=e时，hx的导数也是 (logx)'的一个特例. 3.函数的和（或差）的导数 (1)已知f(x),g(x)为可导函数，[f(x)士g(x)]'=f(x)士g'(x). (2)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形（一般 化)，即[u(x)士v(x)士…士(x)]'=u'(x)士v(x)士…士e'(x). 4.函数的积的导数 (1)已知f(x),g(x)为可导函数，[f(x)·g(x)]'=f(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地， ·42· ◆◆鱼 高中数学·专题3 °。择数·闪电提分 [cf(x)]'=cf(x). (2)[af(x)十bg(x)]'=af(x)十bg'(x),其中a,b为常数. (3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]'= u'(x)v(x)·…·w(x)+u(x)u'(x)·…·w(x)+…+u(x)(x)·…·'(x). 5.函数的商的导数 已知f(x),g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (D)KD]-P(Dg()-f(g() Lg(x) Lg(x) (2)(特殊化)当f(x)=1,g(x)≠0时，=1「1r=-5() g(x)g(x)'g(x)[g(x) 6.复合函数求导的步骤 分解 选定中间变量，正确分解复合关系 即说明函数关系y=f,=g(x) 分步求导（弄清每一步求导是哪个 求导 变量对哪个变量求导)，要特别注 意中间变量对自变量求导，即先求 yw,再求 回代 计算y”·W,并把中间变量转化为 自变量的函数 7.函数的单调性与导数的关系 在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f(x)>0 单调递增 f(x)≤0 单调递减 f(x)=0 常函数 8,利用导数解决比较大小或解不等式问题构造函数的常用模型 (1)条件：f(x)>a(a≠0)，构造函数h(x)=f(x)一a.x; (2)条件：f(x)士g(x)>0,构造函数h(x)=f(x)土g(x) (3)条件：f'(x)十f(x)>0,构造函数h(x)=ef(x): (4条件：f(x-f()>0,构造函数h(x)=f四： (5)条件：xf(x)+f(x)>0,构造函数h(x)=xf(x); (6)条件：xf(x)-f(x)>0,构造函数h(r)=f, ()条件：>0，构造两数A()=nf0, 9,求可导函数f(x)的极值的方法与步骤 (1)求函数y=f(.x)的极值的方法 解方程f(x)=0,当f(xo)=0时： ①如果在xo附近的左侧f'(x)>0,右侧∫(x)<0,那么f(x)是极大值. ◇◇◇ ·43· 招数高考 ②如果在x附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,那么f(xo)是极小值. (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义域，求导数f(x) ②求f(x)的拐点，即求方程f(x)=0的根， ③利用∫(x)与∫(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 10.求函数的最值 (1)求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤： ①求函数y=f(x)在(a,b)上的极值； ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大 值，最小的一个是最小值 (2)函数在开区间(a,b)的最值 在开区间（α，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值； 若函数f(x)在开区间（α，b)上只有一个极值，且是极大（小）值，则这个极大（小）值就是函 数f(x)在区间(a,b)上的最大（小）值， 11.不等式恒成立、有解常见的转化策略 (1)a>f(x)恒成立台a>f(x)max,a<f(x)恒成立台a<f(x)mim; (2)f(x)>g(x)十k恒成立台k<[