专题2 考点6 函数的有关概念-【择数·高考闪电提分】2023高考数学基础必刷1000题

高中数学·专题2 °。择数·闪电提分 专题二函数 核心知识☐ 1.函数问题允许多对一，但不允许一对多.与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有1个交 点 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”，求分段函数的函 数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论。 3.增函数与减函数的定义 般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D二I: 条件 如果Hx1,x2∈D,当x1<x2时 都有f(x)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 那么就称函数f(x)在区 那么就称函数f(x)在区 结论 间D上单调递增 间D上单调递减 图示 注意：①函数f(x)在区间D上单调递增，x1,x2∈D,且x1≠x2台(x1一x2)[f(x1)一f(x2)] >0台f）f(>0.②函数f在区间D上单调递减，，∈D,且≠x台(x- x1一x2 x)[f(x)-f(x)门<0与f)-f(x2) <0. x1-x2 4.基本初等函数的单调区间 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 k>0 R 无 次函数(y=k.x十b,k≠0) k<0 无 R k>0 无 (-∞，0)，(0，十∞) 反比例函数(y=,k≠0) k<0 (-0,0),(0,十o) 无 a>0 名+四】 二次函数(y=a.x2十bx十c,a≠0) a<0 [一名+四】 5,函数最值存在的2个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值. ◇◇◇ ·15。 招数高考 6.函数奇偶性的几个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(一x). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于 原点对称的非空数集， (4)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的 区间上具有相反的单调性， 7.周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x,周期为T,则 (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0); (2②)若f+a)=则T=2aa>0: (3)f(x+a)=- 则T=2a>0 8.函数的奇偶性与对称性的关系 (1)若函数f(x)满足f(a十x)=f(a一x),则其函数图像关于直线x=a对称；当a=0时可 以得出f(x)=f(一x),函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数. (2)若函数f(x)满足f(2a-x)=2b-f(x),则其函数图像关于点(a,b)对称；当a=0,b=0 时得出f(一x)=一f(x),函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数. 9.函数的对称性与周期性的关系 (1)若函数f(x)关于直线x=a与直线x=b对称，那么函数的周期是2b-a. (2)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2b一a. (3)若函数f(x)关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b一a|. 10.函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 ①函数f(x)是偶函数；②函数图像关于直线x=a对称； ③函数的周期是2|a. ①函数f(x)是奇函数；②函数图像关于点(a,0)对称； ③函数的周期是2a. ①函数f(.x)是奇函数；②函数图像关于直线x=a对称； ③函数的周期是4|a. ①函数f(x)是偶函数；②函数图像关于点(a,0)对称； ③函数的周期是4|a. 其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个. 。16·☐ ◆◆ 高中数学·专题2 °。择数·闪电提兮 11.幂函数的性质 幂函数 v=x y=x2 y=ri y=rt y=x-I (-∞，0)U 定义域 R R R [0,十∞) (0,十∞) {y|y∈R, 值域 R [0,+o∞) R [0,+o∞) 且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 x∈[0，+o∞)时 x∈(0，+o∞)时 增； 减； 单调性 增 增 增 x∈(-∞，0]时 x∈(-∞，0)时 减 减 公共点 都经过点(1,1) 注：(1)所有幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)=1. (2)如果a>0,则幂函数在[0，十∞)上有意义，且是增函数. (3)如果α<0，则幂函数在x=0处无意义，在(0，十∞)上是减函数. 12.指数函数的图像与性质 指数函数y=ar(a>0,且a≠1)的图像和性质如下表： a>1 0<a1 图像 y=l 0.1j y=1- 0,) 定义域 R 值域 (0,十0∞) 性过定点 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 质 单调性by=a'是R上的增函数y=a是R上的减函数