专题6.1 平方根（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题6.1 平方根（知识讲解） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【典型例题】 类型一、平方根➽➼概念的理解➻➸平方根✬✬算术平方根 1．（2022·山东·广饶县乐安街道乐安中学七年级阶段练习）下列说法：①的平方根是±0.5；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③算术平方根等于它本身的数是0，1；④平方根等于本身的数是0，其中正确的是（　　） A．④ B．①② C．②③④ D．③④ 【答案】D 【分析】平方根的定义：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根；算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根；依此即可求解． 解：①负数没有平方根，故错误； ②正数和才有平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，故错误； ③的算术平方根是，的算术平方根是，故正确； ④的平方根是，故正确； 故选：D． 【点拨】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 举一反三： 【变式1】（2022·四川·山市中区教育局八年级期中）下列说法中正确的是（   ） A．的平方根为 B．的算术平方根为 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根为 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的概念即可得到答案． 解：A、负数没有平方根，不符合题意，选项错误； B、负数没有算术平方根，不符合题意，选项错误； C、0的平方根与算术平方根都是0，符合题意，选项正确； D、，的平方根，不符合题意，选项错误， 故选C． 【点拨】本题考查了平方根和算术平方根，解题关键是熟练掌握其定义，注意负数没有平方根和算术平方根，0的平方根与算术平方根都是0． 【变式2】（2022·福建省南安第一中学八年级阶段练习）下列说法：（1）任何一个数都有两个平方根，它们互为相反数；（2）数a的平方根是±；（3）的算术平方根是2；（4）负数不能开平方； （5），其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据负数没有平方根，一个正数的平方根有两个，且两个平方根互为相反数，再逐一判断即可． 解：负数没有平方根，故（1）不符合题意；（2）不符合题意；（3）不符合题意；（4）符合题意；（5）故（5）不符合题意； 故选A． 【点拨】本题考查的是平方根的含义，掌握“一个正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根”是解本题的关键． 类型二、平方根➽➼求一个数的平方根与算术平方根 2．若是的算术平方根，则的平方根是______． 【答案】 【分析】先求出，再求出16的平方根即可． 解：∵是的算术平方根， ∴． ∴16的平方根是． 故答案为： 【点拨】本题考查算术平方根以及平方根，解题的关键是理解算术平方根以及平方根的相关概念并会求一个数的算术平方根以及平方根． 举一反三： 【变式1】 0.16的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】          【分析】根据求一个数的算术平方根与平方根进行计算即可求解． 【详解】0.16的算术平方根是，，则的平方根是 故答案为：， 【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根与平方根，理解平方根与算术平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．